Limite de (1-cos(x))/x conforme x se aproxima de 0

RKA4JL - O que vamos fazer neste vídeo é calcular o limite com x tendendo a zero de (1 menos cos x) sobre x. Para isso vamos usar um limite muito importante que já foi demonstrado em um vídeo especialmente dedicado a ele, que é limite com x tendendo a zero de sen x sobre x, que resulta em 1. Existe um vídeo dedicado à demonstração deste famoso limite, e para demonstrá-lo usamos o teorema do Sanduíche. Vamos então ver o que acontece no limite que queremos calcular. Primeiro vou manipular um pouco essa expressão. Primeiro eu vou multiplicar o numerador e denominador por (1 mais cos x). Estou multiplicando o numerador e o denominador pela mesma quantidade, então não altero a fração que eu já tinha. É como multiplicar por 1. Vamos reescrever e simplificar, observando que no numerador (1 menos cos x) vezes (1 mais cos x), e aplicando o produto notável, isso resulta em 1 menos cos² x e no denominador vamos ter x vezes (1 mais cos x). Mas o que é 1 menos cos² x? Existe aquela identidade trigonométrica chamada "relação trigonométrica fundamental" que diz que isso resulta exatamente em sen² x. Vamos reescrever aqui. Isso tudo vai ser igual ao limite com x tendendo a zero e sen² x é sen x vezes sen x. Aqui eu vou separar em duas partes, vou ter o primeiro sen x sobre o fator x do denominador vezes o segundo fator sen x do numerador sobre (1 mais cos x). Feita esta pequena manipulação algébrica, que utilizou inclusive a relação trigonométrica fundamental, temos aqui o limite do produto destas duas expressões que pode ser reescrito como o produto dos limites dessas expressões. Então posso escrever aqui o limite com x tendendo a zero de (sen x sobre x) vezes o limite com x tendendo a zero de sen x sobre (1 mais cos x). Agora esta primeira parte, este primeiro limite, já foi provado em outro vídeo que vale exatamente 1, é um limite bem famoso. Então todo esse limite que nós estamos estudando vai ser igual, simplesmente, a este segundo limite que temos aqui. Estudando esta expressão, quando x tende a zero o sen 0 é zero, e no denominador, cos 0 é 1, então 1 mais 1, 2, mais zero do numerador dividido por 2 dá zero. Este limite todo, então, tende a zero. Finalmente temos então que o limite todo que estamos procurando vai ser 1 vez zero. Portanto, zero. Então usando um pouquinho de técnica algébrica e da relação trigonométrica fundamental, conseguimos calcular o limite com x tendendo a zero de (1 menos cos x) sobre x e esse limite resulta em exatamente zero. Eu sugiro que você tente verificar isso graficamente. Faça o gráfico dessa função definida por (1 menos cos x) sobre x e procure verificar o que acontece com o limite com x tendendo a zero. É um outro ponto de vista bastante interessante. Até o próximo vídeo!