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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 2
Lição 13: Vídeos de demonstração- Prova: derivabilidade implica continuidade
- Justificativa da regra da potência
- Demonstração da regra da potência para potências formadas por números inteiros e positivos
- Demonstração da regra da potência para a função de raiz quadrada
- Limite de sen(x)/x conforme x se aproxima de 0
- Limite de (1-cos(x))/x conforme x se aproxima de 0
- Prova da derivada de sen(x)
- Prova da derivada de cos(x)
- Demonstração da regra do produto
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Limite de (1-cos(x))/x conforme x se aproxima de 0
Demonstração de que o limite de (1-cos(x))/x quando x se aproxima de 0 é igual a 0. Isso será útil para provar a derivada de sen(x).
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - O que vamos fazer neste vídeo
é calcular o limite com x tendendo a zero de (1 menos cos x) sobre x. Para isso vamos usar um limite muito importante que já foi demonstrado em um vídeo
especialmente dedicado a ele, que é limite com x tendendo a zero
de sen x sobre x, que resulta em 1. Existe um vídeo dedicado à
demonstração deste famoso limite, e para demonstrá-lo usamos o teorema do Sanduíche. Vamos então ver o que acontece
no limite que queremos calcular. Primeiro vou manipular um pouco essa expressão. Primeiro eu vou multiplicar o numerador e denominador
por (1 mais cos x). Estou multiplicando o numerador e o denominador
pela mesma quantidade, então não altero a fração que eu já tinha. É como multiplicar por 1. Vamos reescrever e simplificar, observando que no numerador
(1 menos cos x) vezes (1 mais cos x), e aplicando o produto notável, isso resulta em 1 menos cos² x e no denominador vamos ter
x vezes (1 mais cos x). Mas o que é 1 menos cos² x? Existe aquela identidade trigonométrica
chamada "relação trigonométrica fundamental" que diz que isso resulta exatamente em sen² x. Vamos reescrever aqui. Isso tudo vai ser igual
ao limite com x tendendo a zero e sen² x
é sen x vezes sen x. Aqui eu vou separar em duas partes, vou ter o primeiro sen x
sobre o fator x do denominador vezes o segundo fator sen x do numerador
sobre (1 mais cos x). Feita esta pequena manipulação algébrica,
que utilizou inclusive a relação trigonométrica fundamental, temos aqui o limite do produto destas duas expressões que pode ser reescrito
como o produto dos limites dessas expressões. Então posso escrever aqui o limite com x tendendo a zero
de (sen x sobre x) vezes o limite com x tendendo a zero
de sen x sobre (1 mais cos x). Agora esta primeira parte,
este primeiro limite, já foi provado em outro vídeo
que vale exatamente 1, é um limite bem famoso. Então todo esse limite que nós estamos estudando vai ser igual, simplesmente,
a este segundo limite que temos aqui. Estudando esta expressão,
quando x tende a zero o sen 0 é zero, e no denominador, cos 0 é 1, então 1 mais 1, 2, mais zero do numerador
dividido por 2 dá zero. Este limite todo, então,
tende a zero. Finalmente temos então que o limite todo que estamos procurando vai ser 1 vez zero. Portanto, zero. Então usando um pouquinho de técnica algébrica
e da relação trigonométrica fundamental, conseguimos calcular o limite com x tendendo a zero de (1 menos cos x) sobre x e esse limite resulta em exatamente zero. Eu sugiro que você tente verificar isso graficamente. Faça o gráfico dessa função
definida por (1 menos cos x) sobre x e procure verificar o que acontece com o limite
com x tendendo a zero. É um outro ponto de vista bastante interessante. Até o próximo vídeo!