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Prova da derivada de cos(x)

Usando o fato de que a derivada de sen(x) é cos(x), usamos recursos visuais para mostrar que a derivada de cos(x) é -sen(x).

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos provar, geometricamente, que a derivada em relação a "x" do cosseno de "x" é igual a menos seno de "x". E, claro, nós vamos utilizar uma ideia que provamos na aula passada, que nada mais é do que a derivada em relação a "x" da função seno de "x" é igual a cosseno de "x". E se você não viu esta prova, eu sugiro que você dê uma olhada nesta aula. Então, basicamente, para provar isto aqui, nós vamos utilizar uma ideia geométrica. Sendo que este gráfico vermelho é o gráfico da função "y = sen(x)". E o gráfico azul representa a função "y = cos(x)". E, além disso, ele está mostrando a derivada para qualquer ponto do gráfico vermelho, já que a derivada do seno é igual ao cosseno. O que eu vou fazer aqui é mover estes dois gráficos em π/2 unidades. Ou seja, este gráfico vermelho nós vamos mover nesta direção em π/2 unidades. E este gráfico azul, nós também vamos mover em π/2 unidades. E o que vai acontecer com isso? Bem, nós vamos ficar com estes dois gráficos que eu coloquei aqui embaixo. Este gráfico azul agora vai ser o gráfico da função "y = cos(x + π/2)" para o lado esquerdo. Ou seja, nós fizemos uma translação de π/2 unidades para o lado esquerdo deste gráfico aqui. E o gráfico vermelho, de baixo, agora pertence à função "y = sen(x + π/2)". E o que eu quero mostrar aqui é que se fizermos esta mudança de π/2 unidades para a direita, esta relação deve ser mantida. Ou seja, a derivada em relação a "x" de sen(x + π/2), é igual a cos(x + π/2). E qual é o sen(x + π/2)? É a mesma coisa que cos(x). É só você comparar este gráfico com o gráfico da função "y = cos(x)". Eles representam a mesma coisa. E qual é o cos(x + π/2)? Este cosseno é igual a "-sen(x)". E você pode provar isso comparando os gráficos. Note que, inicialmente, nós vimos que a derivada em relação a "x" de sen(x) era igual ao cos(x). Portanto, a derivada em relação a "x" de sen(x + π/2) deve ser igual ao cos(x + π/2). E se calcularmos a derivada disso, conforme vimos aqui, isto vai ser igual a "-sen(x)". Além, disso se você comparar o gráfico de cos(x + π/2) com o gráfico de "y = sen(x)", você vai ver que eles são inversos. Ou seja, a derivada do cos(x) é igual a -sen(x). Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!