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Transcrição de vídeo

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos provar que a derivada do seno de x = cosseno de x e lembrando também que a derivada do cosseno de x = - sendo de x e claro nós vamos utilizar essas duas coisas para provar coisas mais complicadas no futuro mas enfim nessa aula nós provamos isso e na próxima provamos a derivada do Cosseno Ok Lembrando que a derivada em relação a x de seno de x é igual ao limite quando o delta X tende a zero de seno de x + Delta x menos seno de x dividido por Delta x Lembrando que esse limite representa a inclinação da reta e como podemos resolver essa parte aqui nós podemos utilizar soma de arcos lembrando o quê e já + B é igual ao sendo de ar vezes o cosseno de bebê mais o cosseno de ar vezes o seno de bebê e com isso nós vamos ter o limite com Delta x tendendo a zero e para facilitar as contas eu vou escrever essa parte aqui primeiro então vamos ter o limite com Delta x tendendo a zero de cosseno de x vezes o seno de Delta x mas o seno de x vezes o cosseno de Delta x e ainda temos esse menos sendo DX aqui então menos sendo de x e dividimos tudo isso por Delta x Isso vai ser igual ao limite com Delta x tendendo a zero eu posso separar essa parte que é cosseno de x vezes o seno de Delta x sobre Delta x mas essa parte aqui que é e seis vezes o cosseno de Delta x menos seno de x dividido por Delta x ou seja eu transformei isso aqui em uma soma de duas coisas e lembre-se que o limite da soma é igual a soma dos limites e com isso nós vamos ter o limite com Delta x se aproximando de zero disso aqui que eu posso reescrever como cosseno de x vezes o seno de Delta x sobre Delta x mais o limite quando o delta x se aproxima de zero disso aqui que eu posso faturar colocando o seno de x em evidência E aí eu vou ficar com o seno de x que multiplica o cosseno de Delta X então vezes o cosseno de Delta x menos 1 isso porque sendo DX vezes menos um vai dar menos sendo de X e nós de é isso aqui por Delta x Será que nós conseguimos simplificar isso um pouco mais deixa eu descer aqui e vamos ver o que podemos fazer Observe que esse cosseno de x é uma constante então eu posso jogar ele aqui para frente do nosso limite ficando com cosseno de x que multiplica o limite quando Delta x se aproxima de zero descendo de Delta x sobre Delta x e ainda precisamos somar com essa parte Será que conseguimos simplificar lá olhando essa expressão eu acho que é ideal é escrever lá como um menos o cosseno de Delta x com um menos aqui do lado de fora ou seja o seno de x alguma coisa negativa e sinais diferentes na multiplicação tem o resultado de um sinal negativo então eu posso colocar um menos aqui e jogar esse seno de x para frente do tá ficando com menos sendo DX vezes o limite de Delta x tendendo a zero de 1 - o cosseno de Delta x / Delta x e aqui uma coisa importante que eu não vou provar nessa aula provavelmente eu vou provar quando falarmos de algo que chamamos de Teorema do Sanduíche o limite de sendo de Delta x sobre Delta x quando Delta X tende a zero é igual a 1 e também que esse limite aqui é igual a zero então basicamente eu manipulei algumas coisas para chegar nesses dois limites Que nós conhecemos e a prova disso nós vamos ver em futuras aulas e observe que 0 vezes qualquer coisa vai dar zero então toda essa parte vai sumir e vamos ficar apenas com cosseno de x 1 = cosseno de x e nós provamos que a derivada do seno de x = cosseno de x e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal