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Transcrição de vídeo

é o que vamos fazer nesse vídeo A provar que o limite com teto atendendo a 0 e sendo detesta sobre reta é igual a um vamos usar uma série de técnicas trigonométricas aqui aqui temos um círculo unitário um branco qual é o comprimento deste segmento cor-de-laranja Observe que esse comprimento é exatamente a ordenada do ponto onde o raio do Círculo intercepta o círculo e o segmento e por definição das funções trigonométricas o comprimento deste segmento é exatamente o seno do ângulo teta e de fato Aqui estamos falando do valor absoluto módulo do seno de teta e este segmento azul aqui posso expressar o comprimento dele em termos de alguma função trigonométrica vamos nos lembrar de uma coisa o que é à tangente do ângulo teta lembre-se de que a tangente do ângulo reto é a medida do cateto oposto ao ângulo reto é dividido pela medida do cateto adjacente ao ângulo teta se olhamos para este triângulo aqui a porta temos aqui o nosso ângulo reto em radianos este segmento Azul a justamente o cateto oposto ao ângulo teta e o cateto adjacente ao ângulo teta é justamente o raio do Círculo que é um então aqui à tangente do ângulo teta é exatamente a medida do cateto oposto ao ângulo teta e tal qual antes Este é o valor positivo para tangente aqui no primeiro quadrante mas eu quero trabalhar aqui com situações envolvendo o primeiro e o 4º quadrantes então eu vou usar aqui o valor absoluto da tangente do ângulo teta Vamos pensar sobre alguns triângulos e as suas Áreas aqui vou desenhar um triângulo aqui para começar em um triângulo acompanhando aqui como se fosse uma fatia dessa torta do Círculo esse triângulo aqui vamos pensar sobre a área dele vou a chorar a área dele aqui para que fique fácil de entender e qual é a expressão que determina essa área lembre-se de que ela calcular a área de um triângulo podemos fazer um meio vezes a base vezes altura sabemos que a altura justamente o seno de testa e sabemos também que a Oi e o raio do Círculo unitário é um então a área que vai ser um meio vezes a base que é um vezes o seno de teta que a altura sendo de teto em valor absoluto que escrevendo de forma simplificada Aqui estamos falando do módulo de sendo de reta sobre dois vamos agora pensar na área deste setor circular aqui que fração do Círculo Todo essa área representa-se a volta inteira tem dois piercing então a fração representada pelo ângulo que determina o setor circular é até tá sobre do Spin Essa é a fração do Círculo correspondente ao setor circular então a área do setor circular é até tá sobre 2 pi vezes pi vezes raio ao quadrado que nesse caso então é pi vezes um quadrado ou simplesmente ipe simplificando a área deste setor circular então é até tá sobre dois e como estamos tratando com a possibilidade de teto Ah está também no quarto quadrante Então vamos tratá-lo em valor absoluto vamos agora pensar sobre este triângulo maior que eu vou destacar em azul de novo área aqui o meu vezes a base vezes altura estamos falando dessa área inteira aqui vai ser meio vezes a base que é o raio do Círculo unitário portanto um vezes o tamanho desse segmento azul que é o módulo da tangente do ângulo reta ou simplesmente simplificando o meio vezes um vezes a tangente de teto temos simplesmente tangente de teto ah sobre dois módulos da tangente e reta sobre dois agora vamos Comparar as áreas destas três figuras o triângulo menor destacado em cor-de-rosa o setor circular destacado em laranja e o triângulo maior Azul evidentemente a área do triângulo cor-de-rosa vai ser menor que ou igual a área do setor circular e vai ser menor ou igual a área do triângulo azul Observe que o setor circular tem a área do triângulo cor-de-rosa animais esta Cunha aqui e o triângulo azul inclui a área do setor circular mais esta Outra área externa aqui Dessa forma podemos visual a identificar que esta afirmação estas desigualdades são verdadeiras agora eu vou fazer um pouco de manipulação algébrica vou multiplicar tudo por dois para evidentemente simplificar aqui de maneira que ao reescrever vamos ter um módulo do seno de teta menor ou igual ao módulo de reta menor igual ao módulo da tangente de teto e aqui na tangente detecta que é sendo de teto sobre cosseno de teto então podemos escrever módulo do seno de teta sobre o módulo do Cosseno de teta esta fração substitui o módulo da tangente de reta agora eu posso dividir toda esta desigualdade pelo valor absoluto de seno de teta Observe que estou dividindo por um valor positivo Então não vai modificar o sentido das desigualdades escrevendo Então módulo do seno de teta sobre módulo do seno de teta módulo teta sobre o módulo do seno de teta e essa fração final multiplicamos por um sobre o módulo de seno de teta que a mesma coisa que dividir pelo módulo de sendo detecta que aqui vamos E isso tem aqui nós temos um aqui no final cancelando o seno de teta conselho de tetra temos um sobre cosseno de teta meu próximo passo é tomar o inverso de cada membro das desigualdades mas eu preciso me lembrar de que quando eu inverto os membros das desigualdades o sentido delas tem que ser trocado também Começando por aqui o inverso de um é simplesmente um agora o sinal que era menor igual passa a ser maior ou igual o módulo de teto sobre módulo descendo de teto ah passa a ser módulo descendo de teto ah sobre o módulo de PETA e isso vai ser maior que ou igual o inverso de um sobre cosseno de teto ou seja cosseno de teta e tomando estamos falando do teto aproximando-se de zero pelo primeiro pelo 4º quadrantes se estivéssemos no primeiro quadrante então reta é positivo e o seno de teta também é positivo por outro lado no quarto quadrante reta é negativo e sendo de tetra também é negativo de forma aqui escrever essa expressão com e por isso absoluto É desnecessário porque se eles têm sempre o mesmo sinal ao dividir isso vai dar um Resultado positivo olhando para o cosseno também podemos tirar as barrinhas do módulo porque já que o cosseno é abscissa do ponto de intersecção do círculo do raio e do segmento alaranjado então ele sempre é positivo bom no primeiro no quarto quadrante o cosseno é positivo aqui vamos dar uma olhada Imagine que estamos falando de três funções a primeira a função f de x que é um a segunda função GTX e a terceira hdx e no intervalo que estamos considerando ou seja para afeta entre menos pi sobre 2 Episode 2 essas desigualdades são verdadeiras para qualquer valor de teta Observe que sendo de teto sobre teto é definida nesse intervalo e certo quando o teto é igual a zero bem agora já estamos muito próximos de conseguir obter limite pelo teorema do sanduíche e isto é verdade no intervalo considerado sabemos também então que a seguinte a ação é verdadeira o limite completa se aproximando a 0 desta a primeira função que é um é maior que o igual que o limite completa tendendo a zero que sendo direta sobre reta e é justamente nesse limite que estamos de olho e ele é maior que ou igual ao limite com teto atendendo a 0 e cosseno de teta bem Este primeiro limite aqui é claramente igual a um segundo limite é justamente o que estamos estudando e este terceiro limite limite de cosseno de teta quando o teto a tende a zero já que o cosseno de teto é uma função continua então o cosseno de 0 sendo um este limite vale um então o limite a que estamos estudando Vai ser menor que ou igual a 1 e maior que ou igual a 1 a conclusão a que chegamos é que esse limite tem que ser exatamente igual pronto até o próximo vídeo