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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 2
Lição 5: Derivação- Derivabilidade e continuidade
- Derivabilidade em um ponto: gráfico
- Derivabilidade em um ponto: gráfico
- Derivabilidade em um ponto: algébrico (a função é derivável)
- Derivabilidade em um ponto: algébrico (a função não é derivável)
- Derivabilidade em um ponto: algébrico
- Prova: derivabilidade implica continuidade
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Derivabilidade e continuidade
Definição de diferenciabilidade e entendendo a relação entre diferenciabilidade e continuidade.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos explorar
a noção de diferenciabilidade em um ponto e vamos associar isso à continuidade. Basicamente, isso é a mesma
coisa de dizer que uma função tem uma derivada em um certo ponto. E vamos relembrar o que é uma derivada. E eu vou utilizar aqui
a notação de Lagrange. Então, F'(c) vai ser igual ao limite quando o "x" tende a "c". Ou seja, se aproxima de "c",
de F(x) - F(c) / x - c. E, claro, isto aqui parece
um pouco complicado, mas o que importa é que
está calculando a inclinação. Esta aqui é a variação da nossa função. Basicamente, o que temos aqui é a variação conforme
o "x" se aproxima de "c". Ou seja, isto aqui vai ficando
mais próximo de zero. E nós já conversamos a respeito disso em outras aulas. Portanto, neste vídeo,
eu não vou provar isto. O que eu vou fazer nesta aula é colocar algumas definições aqui. E nós vamos ter uma ideia intuitiva
do porquê isso é verdade. Primeiro, se "F" é diferenciável em "x = c", então "F" é contínua em x = c. Basicamente, o que eu estou dizendo aqui é que se isso é verdade, então, a função é contínua em x = c. E o contrário nem sempre é verdade. Ou seja, se a função é contínua, não necessariamente ela é diferenciável. Mais para frente, nós vamos
ver alguns exemplos disso. E uma outra maneira de pensar nisso é que se "F" não é contínua em "x = c", então "F" não é diferenciável em "x = c". Deixe-me escrever isto aqui. Se "F" não é contínua em "x = c", então, "F" não é diferenciável em "x = c". Ok, eu vou colocar alguns exemplos aqui de funções não contínuas e vamos ver se somos capazes
de encontrar este limite. Aqui nós temos a nossa primeira função que apresenta uma descontinuidade. Observe que esta função
é definida em "x = c", mas quando "x > c", a função sofre um salto
e, depois, continua aqui. E o que acontece quando
você tenta encontrar este limite? Lembre-se que esta derivada representa a inclinação de uma
reta que passa por um ponto, que eu vou colocar aqui, (x, F(x)) e o ponto (c, F(c)). Com isso, se você quiser encontrar o limite quando "x" se aproxima
de "c" pela esquerda, você deve encontrar a inclinação da reta aqui pela esquerda. E, claro, nós podemos encontrar
valores mais próximos e mais próximos do "c", encontrando a inclinação da reta. Mas se você perceber, em todos estes casos,
a inclinação é zero. Ou seja, a derivada desta função,
este limite aqui, conforme vamos nos aproximando
do "c" pela esquerda, está se aproximando de zero. Mas o que acontece quando
tentamos determinar o limite lateral pela direita? Ou seja, ao invés do "x" estar aqui, ele vai estar aqui. E este ponto vai ser (x, F(x)). Neste caso, a inclinação
da reta vai ser esta aqui. E se o "x" estiver mais próximo do "c", por exemplo, aqui nós
teríamos esta inclinação e à medida que aproximamos o "x" do "c", a inclinação vai se aproximando do infinito negativo. Ou seja, está se aproximando de um valor diferente
do que pela esquerda. Portanto, este limite não existe, e, com isso, podemos dizer que
esta função não é diferenciável. E, de novo, eu não estou
provando nada aqui, eu só mostrei que se uma função
não é contínua em um ponto, então, ela não é diferenciável
naquele ponto. Vamos ver mais um exemplo aqui? E nós temos um caso onde muitas vezes nós chamamos
de descontinuidade removível ou descontinuidade pontual. E, de novo, vamos dizer que o "x" está se aproximando do "c" pela esquerda. Então, nós temos o ponto (x, F(x)) aqui. E sabe qual é o interessante
deste gráfico? É que nós utilizaríamos isto aqui para calcular a inclinação
da reta tangente. Não deste ponto a esta descontinuidade, mas sim deste aqui até o ponto (c, F(c)). E conforme você vai
ficando mais próximo de "c", você vai calculando a
inclinação destas retas aqui. E conforme o "x" se
aproxima do "c" pela esquerda, esta expressão vai se aproximando
do infinito negativo. E se o "x" se aproximar
do "c" pela direita, a nossa inclinação vai
ficando mais positiva, mais positiva e mais positiva se aproximando do infinito positivo. Ou seja, nenhum dos dois lados
se aproxima de um valor finito, mas os limites laterais são diferentes. Por isso, este limite não vai existir. E, de novo, de uma forma intuitiva, nós conseguimos ver que se uma
função não é contínua em um ponto, então, ela não é diferenciável
naquele ponto. E se a função não fosse definida em "c", será que ela seria diferenciável? Logicamente, não. Porque esta parte da expressão
não faria qualquer sentido. Ou seja, se a função não é
definida em "c", então, você não vai
conseguir calcular o F(c). Com isso, a função não
vai ser diferenciável. Agora, eu quero fazer uma pergunta. Nestes dois exemplos, nós vimos
que se uma função não é contínua, então, ela não é diferenciável. Mas, será que existe alguma
função que seja contínua em todos os pontos do seu intervalo, mas não seja diferenciável? Sim, existem infinitas funções que podem ser contínuas em "c",
mas não são diferenciáveis. Por exemplo, a função módulo, que é uma função que só
recebe valores absolutos. E eu coloquei aqui o gráfico da função "y" igual ao módulo de "x - c". E por que "F" não é diferenciável em "c"? Para entender isso, pense nesta expressão aqui. Tudo que ela faz é calcular
a inclinação de uma reta que passa por um ponto (x, F(x))
e o ponto (c, F(c)). Portanto, se o "x" estiver aqui, o F(x) vai estar aqui. E quando você calcula o limite deste "x" se aproximando do "c", você está calculando a
inclinação desta reta. E conforme você vai se aproximando, você vai obtendo valores negativos. Ou seja, conforme o "x" se aproxima
do "c" pela esquerda, esta expressão vai recebendo
valores negativos. Mas se o "x" for se aproximando
do "c" pela direita, a expressão vai recebendo
valores positivos. Com isso, este limite está recebendo
dois valores diferentes, conforme você se aproxima
pela esquerda ou pela direita. Se você se aproxima pela esquerda, você está recebendo valores negativos. E se você se aproxima pela direita, você está recebendo valores positivos. E como sabemos quando os
limites laterais são diferentes, então, este limite não existe. Portanto, esta função contínua
não é diferenciável. E se lembrarmos que esta reta tangente
nada mais é do que a derivada, você vai ver que conseguimos
desenhar infinitas retas tangentes passando pelo ponto "c". Olha, você pode passar uma reta
tangente ao ponto "x = c", aqui. Também pode ter uma reta tangente, passando pelo ponto (0, c) aqui. E você pode continuar fazendo
isso infinitamente. Ou seja, não dá para saber exatamente
qual é a derivada naquele ponto. Mas, enfim, intuitivamente eu só quero
que você entenda estas duas coisas. Se "F" é diferenciável em "x = c", então, "F" é contínua em "x = c". E esta é uma outra maneira
de pensar nisso. Se "F" não é contínua em "x = c", então, "F" não é diferenciável em "x = c". Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!