Derivabilidade e continuidade

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos explorar a noção de diferenciabilidade em um ponto e vamos associar isso à continuidade. Basicamente, isso é a mesma coisa de dizer que uma função tem uma derivada em um certo ponto. E vamos relembrar o que é uma derivada. E eu vou utilizar aqui a notação de Lagrange. Então, F'(c) vai ser igual ao limite quando o "x" tende a "c". Ou seja, se aproxima de "c", de F(x) - F(c) / x - c. E, claro, isto aqui parece um pouco complicado, mas o que importa é que está calculando a inclinação. Esta aqui é a variação da nossa função. Basicamente, o que temos aqui é a variação conforme o "x" se aproxima de "c". Ou seja, isto aqui vai ficando mais próximo de zero. E nós já conversamos a respeito disso em outras aulas. Portanto, neste vídeo, eu não vou provar isto. O que eu vou fazer nesta aula é colocar algumas definições aqui. E nós vamos ter uma ideia intuitiva do porquê isso é verdade. Primeiro, se "F" é diferenciável em "x = c", então "F" é contínua em x = c. Basicamente, o que eu estou dizendo aqui é que se isso é verdade, então, a função é contínua em x = c. E o contrário nem sempre é verdade. Ou seja, se a função é contínua, não necessariamente ela é diferenciável. Mais para frente, nós vamos ver alguns exemplos disso. E uma outra maneira de pensar nisso é que se "F" não é contínua em "x = c", então "F" não é diferenciável em "x = c". Deixe-me escrever isto aqui. Se "F" não é contínua em "x = c", então, "F" não é diferenciável em "x = c". Ok, eu vou colocar alguns exemplos aqui de funções não contínuas e vamos ver se somos capazes de encontrar este limite. Aqui nós temos a nossa primeira função que apresenta uma descontinuidade. Observe que esta função é definida em "x = c", mas quando "x > c", a função sofre um salto e, depois, continua aqui. E o que acontece quando você tenta encontrar este limite? Lembre-se que esta derivada representa a inclinação de uma reta que passa por um ponto, que eu vou colocar aqui, (x, F(x)) e o ponto (c, F(c)). Com isso, se você quiser encontrar o limite quando "x" se aproxima de "c" pela esquerda, você deve encontrar a inclinação da reta aqui pela esquerda. E, claro, nós podemos encontrar valores mais próximos e mais próximos do "c", encontrando a inclinação da reta. Mas se você perceber, em todos estes casos, a inclinação é zero. Ou seja, a derivada desta função, este limite aqui, conforme vamos nos aproximando do "c" pela esquerda, está se aproximando de zero. Mas o que acontece quando tentamos determinar o limite lateral pela direita? Ou seja, ao invés do "x" estar aqui, ele vai estar aqui. E este ponto vai ser (x, F(x)). Neste caso, a inclinação da reta vai ser esta aqui. E se o "x" estiver mais próximo do "c", por exemplo, aqui nós teríamos esta inclinação e à medida que aproximamos o "x" do "c", a inclinação vai se aproximando do infinito negativo. Ou seja, está se aproximando de um valor diferente do que pela esquerda. Portanto, este limite não existe, e, com isso, podemos dizer que esta função não é diferenciável. E, de novo, eu não estou provando nada aqui, eu só mostrei que se uma função não é contínua em um ponto, então, ela não é diferenciável naquele ponto. Vamos ver mais um exemplo aqui? E nós temos um caso onde muitas vezes nós chamamos de descontinuidade removível ou descontinuidade pontual. E, de novo, vamos dizer que o "x" está se aproximando do "c" pela esquerda. Então, nós temos o ponto (x, F(x)) aqui. E sabe qual é o interessante deste gráfico? É que nós utilizaríamos isto aqui para calcular a inclinação da reta tangente. Não deste ponto a esta descontinuidade, mas sim deste aqui até o ponto (c, F(c)). E conforme você vai ficando mais próximo de "c", você vai calculando a inclinação destas retas aqui. E conforme o "x" se aproxima do "c" pela esquerda, esta expressão vai se aproximando do infinito negativo. E se o "x" se aproximar do "c" pela direita, a nossa inclinação vai ficando mais positiva, mais positiva e mais positiva se aproximando do infinito positivo. Ou seja, nenhum dos dois lados se aproxima de um valor finito, mas os limites laterais são diferentes. Por isso, este limite não vai existir. E, de novo, de uma forma intuitiva, nós conseguimos ver que se uma função não é contínua em um ponto, então, ela não é diferenciável naquele ponto. E se a função não fosse definida em "c", será que ela seria diferenciável? Logicamente, não. Porque esta parte da expressão não faria qualquer sentido. Ou seja, se a função não é definida em "c", então, você não vai conseguir calcular o F(c). Com isso, a função não vai ser diferenciável. Agora, eu quero fazer uma pergunta. Nestes dois exemplos, nós vimos que se uma função não é contínua, então, ela não é diferenciável. Mas, será que existe alguma função que seja contínua em todos os pontos do seu intervalo, mas não seja diferenciável? Sim, existem infinitas funções que podem ser contínuas em "c", mas não são diferenciáveis. Por exemplo, a função módulo, que é uma função que só recebe valores absolutos. E eu coloquei aqui o gráfico da função "y" igual ao módulo de "x - c". E por que "F" não é diferenciável em "c"? Para entender isso, pense nesta expressão aqui. Tudo que ela faz é calcular a inclinação de uma reta que passa por um ponto (x, F(x)) e o ponto (c, F(c)). Portanto, se o "x" estiver aqui, o F(x) vai estar aqui. E quando você calcula o limite deste "x" se aproximando do "c", você está calculando a inclinação desta reta. E conforme você vai se aproximando, você vai obtendo valores negativos. Ou seja, conforme o "x" se aproxima do "c" pela esquerda, esta expressão vai recebendo valores negativos. Mas se o "x" for se aproximando do "c" pela direita, a expressão vai recebendo valores positivos. Com isso, este limite está recebendo dois valores diferentes, conforme você se aproxima pela esquerda ou pela direita. Se você se aproxima pela esquerda, você está recebendo valores negativos. E se você se aproxima pela direita, você está recebendo valores positivos. E como sabemos quando os limites laterais são diferentes, então, este limite não existe. Portanto, esta função contínua não é diferenciável. E se lembrarmos que esta reta tangente nada mais é do que a derivada, você vai ver que conseguimos desenhar infinitas retas tangentes passando pelo ponto "c". Olha, você pode passar uma reta tangente ao ponto "x = c", aqui. Também pode ter uma reta tangente, passando pelo ponto (0, c) aqui. E você pode continuar fazendo isso infinitamente. Ou seja, não dá para saber exatamente qual é a derivada naquele ponto. Mas, enfim, intuitivamente eu só quero que você entenda estas duas coisas. Se "F" é diferenciável em "x = c", então, "F" é contínua em "x = c". E esta é uma outra maneira de pensar nisso. Se "F" não é contínua em "x = c", então, "F" não é diferenciável em "x = c". Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!