Derivabilidade em um ponto: algébrico (a função não é derivável)

RKA2G - É dada a função abaixo contínua/diferenciável no ponto x = 1? Temos aqui g(x) e está separado aqui. Quando "x" for menor do que 1, é esta expressão. Quando "x" for maior ou igual a 1, é esta expressão. Ela pergunta se é contínua mas não diferenciável, se é diferenciável mas não é contínua, se é diferenciável e contínua, ou nem diferenciável nem contínua. Bem, em primeiro lugar, vamos ver se ela é contínua. Para que seja contínua, o limite pelo lado esquerdo tem que ser igual ao limite pelo lado direito, ou seja, g(1) vai ser o limite de g(x) para "x" tendendo a 1 pelo lado esquerdo, por exemplo. Ora, se "x" tende a 1 pelo lado esquerdo, nós vamos ter que esta função vai ser "x" menor do que 1, já que ela está vindo pelo lado esquerdo. Então, nós temos o limite de x - 1 quando "x" tende a 1 pelo lado esquerdo. Isto vai dar zero. E qual é o limite de g(1), ou seja, o limite de g(x) quando "x" tende a 1 pelo lado direito? O limite vai ser agora deste caso, pois a expressão é pelo direito. Vamos pegar o limite pelo lado direito, que vai ser (x - 1)², "x" tendendo a 1 pelo lado direito. Isto vai dar: 1 - 1 = 0, 0² = 0, ou seja, ela é contínua. Portanto, vamos cortar esta "não é contínua" e vamos cortar esta "não é contínua". Ficamos em dúvida entre a letra A e a letra C. Agora vamos para a segunda etapa. Vamos ver se ela é diferenciável. Vamos ver se ela é diferenciável. Para que ela seja diferenciável, a inclinação de um lado tem que ser igual à inclinação do outro lado, ou seja, ela não pode ter a inclinação do lado esquerdo diferente da inclinação do lado direito. Então, seria o limite de g(x), menos g(1), quando "x" tende a 1, sobre x - 1. Nós sabemos que g(1) é zero, portanto, isto fica igual ao limite de g(x) sobre x - 1 para "x" tendendo a 1. Agora vamos pegar o limite lateral, o limite pelo lado esquerdo. Temos o limite quando "x" tende a 1 pelo lado esquerdo. Então, a função g(x) vai ser x - 1. Sobre x - 1, isso vai dar exatamente 1. E o limite pelo lado direito: g(x) é (x - 1)². Então, temos (x - 1)² sobre (x - 1). Podemos simplificar e ficamos com o limite de "x" tendendo a 1 pelo lado direito de (x - 1). Isso vai ser igual a zero. Ou seja, os limites são diferentes. Este aqui está inclinando para uma inclinação zero, enquanto que este está com uma inclinação 1. Se nós víssemos no gráfico... Vamos colocar aqui o gráfico. Você vê: o gráfico desta função aqui vai ser uma coisa deste tipo, porque a inclinação dela é 1. Já o gráfico desta outra função vai ser uma equação do segundo grau, vai ser uma coisa deste tipo. Então, enquanto esta tem uma inclinação igual a 1, esta tem uma inclinação igual a zero. Portanto, embora ela seja contínua, não é diferenciável neste ponto.