A derivada de -cos é +sen ?

-cos(x) = (-1).cos(x). Então sua derivada será: (-1).d/dx cos(x) = (-1).(-sen(x)) = + sen(x). Sempre lembre: -cos(x) = (-1).cos(x) e -sen(x) = (-1).sen(x)

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Cálculo diferencial

Curso: Cálculo diferencial > Unidade 2

Lição 9: Derivadas de cos(x), sen(x), 𝑒ˣ e ln(x)

Prova das derivadas de sen(x) e cos(x)

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Prova de que a derivada de sen(x) é cos(x) e a derivada de cos(x) é -sen(x).

As funções trigonométricas s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis e cosine, left parenthesis, x, right parenthesis desempenham um papel importante no cálculo. Estas são suas derivadas:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}[\operatorname{sen}(x)]&=\cos(x) \\\\ \dfrac{d}{dx}[\cos(x)]&=-\operatorname{sen}(x) \end{aligned}

O curso de cálculo avançado não exige saber a prova dessas derivadas, mas acreditamos que enquanto uma prova estiver acessível, sempre haverá alguma coisa para se aprender com ela. Em geral, sempre é bom exigir algum tipo de prova ou justificativa para os teoremas que você aprende.

Primeiro, gostaríamos de calcular dois limites complicados que usaremos na nossa prova.

1. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 1

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Limit of sin(x)/x as x approaches 0Ver transcrição do vídeo

2. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 0

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Limit of (1-cos(x))/x as x approaches 0Ver transcrição do vídeo

Agora estamos prontos para provar que a derivada de s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis é cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.

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Proof of the derivative of sin(x)Ver transcrição do vídeo

Finalmente, podemos usar o fato de que a derivada de s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis é cosine, left parenthesis, x, right parenthesis para mostrar que a derivada de cosine, left parenthesis, x, right parenthesis é minus, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis.

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Proof of the derivative of cos(x)Ver transcrição do vídeo

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Eduardo Faria
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A derivada de -cos é +sen ?
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- matheusfidelis2
  Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “-cos(x) = (-1).cos(x). En...” de matheusfidelis2
  -cos(x) = (-1).cos(x). Então sua derivada será:
  (-1).d/dx cos(x) = (-1).(-sen(x)) = + sen(x).
  
  Sempre lembre:
  -cos(x) = (-1).cos(x) e -sen(x) = (-1).sen(x)
  Botão para a página de cadastro
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Cálculo diferencial

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Primeiro, gostaríamos de calcular dois limites complicados que usaremos na nossa prova.

1. lim⁡x→0sen⁡(x)x=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1x→0lim​xsen(x)​=1limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 1

2. lim⁡x→01−cos⁡(x)x=0\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x}=0x→0lim​x1−cos(x)​=0limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 0

Agora estamos prontos para provar que a derivada de sen⁡(x)\operatorname{sen}(x)sen(x)s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis é cos⁡(x)\cos(x)cos(x)cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.

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1. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 1

2. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 0

Agora estamos prontos para provar que a derivada de s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis é cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.