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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 2
Lição 9: Derivadas de cos(x), sen(x), 𝑒ˣ e ln(x)Derivadas de sen(x) e cos(x)
Intuição sobre por que a derivada de sen(x) é cos(x) e a derivada de cos(x) é -sen(x).
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - E aí, pessoal?
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos estudar as derivadas
das funções trigonométricas sen(x) e cos(x). Eu coloquei o gráfico da função seno aqui,
em vermelho, e o gráfico da função cosseno está em azul. E, claro, nessa aula, eu não vou provar
nenhuma das duas derivadas. Eu só vou mostrar intuitivamente
quanto vale cada uma. E vamos começar
com a função sen(x). Lembrando que a derivada é a inclinação
da reta tangente a um ponto. E, começando por esse ponto aqui,
parece que a inclinação é zero, ou seja, não tem
inclinação na reta. E para termos esse ponto, nós devemos ter
esse “x” aqui, e a mesma coisa acontece aqui. Parece que a derivada é zero
quando o “x” tem esse valor. Agora, se olharmos nesse ponto,
a inclinação está bem próxima de 1, ou seja, a nossa derivada vai ser igual a 1
quando o “x” for igual a zero. E se o “x” for igual a zero, então,
a nossa derivada em “x” igual a zero vai ser igual a 1. E olhando para esse ponto, a derivada, ou seja,
a inclinação da reta tangente é igual a -1. Portanto, quando o “x” é igual a esse aqui,
a derivada recebe o valor de -1. E você já percebeu algo
interessante que está acontecendo? Onde quer que a nossa
reta tangente esteja passando, a inclinação dela parece coincidir
com a função cosseno e, realmente, isso é verdade. A derivada em relação a “x”
da função sen(x) é igual ao cos(x). E, claro, nós pegamos
alguns pontos-chave, mas, se você observar, a inclinação
da reta tangente nesse ponto é igual a 1 e conforme o “x” vai aumentando, essa inclinação
vai diminuindo até chegar aqui em zero. E a função cosseno tem
o seu maior valor igual a 1 e ela vai decrescendo até
chegar aqui e ser igual a zero, ou seja, tem uma relação entre a
reta tangente e a função cosseno, ou seja, a derivada em relação a “x”
da função sen(x) é igual a cos(x). Mas, claro, nas próximas aulas, eu vou
fazer uma prova mais rigorosa a respeito disso. Agora, vamos considerar
a função cos(x). Observe que, aqui, a inclinação da reta tangente
parece ser zero, portanto, a derivada, nesse ponto, é igual a zero e zero está aqui,
que está coincidindo com a função sen(x). Eu ainda não consigo
notar uma tendência. Vamos observar
outro ponto. Nesse ponto, a inclinação da reta tangente
parece ser negativa, parece ser -1. Ou seja, a derivada é
igual a -1, e -1 está aqui. Nessa parte, eu já consigo
notar uma tendência. Quando temos esse ponto, a
função sen(x) recebe o valor de 1, e a derivada é igual a -1,
ou seja, números opostos. Então, talvez, a derivada do cosseno
em relação a “x” possa ser igual ao oposto de sen(x). Deixe-me colocar aqui a função -sen(x)
no meu gráfico para ver o que acontece. Eu coloquei aqui o gráfico de “y” igual a -sen(x)
e note que esse gráfico parece coincidir com a derivada desse
ponto, que é igual a -1. Nesse ponto, a derivada, ou seja, a inclinação da reta,
é igual a zero e -sen(x) também é igual a zero. Ou seja, a derivada do cos(x),
em relação a “x”, é igual a -sen(x). É importante conhecer essas duas derivadas
porque elas vão ser muito importantes no estudo de cálculo e, claro, nessa aula, nós só
vimos isso de forma intuitiva, mas, nos próximos vídeos,
nós vamos prová-las. E eu espero que essa aula tenha ajudado
vocês, e até a próxima, pessoal!