Regra da potência (reescrevendo a expressão)

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos aprender a resolver algumas derivadas utilizando a regra de potência. Então, como podemos resolver a derivada em relação a "x" da função 1/x? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Ok, vamos resolver juntos? Será que a regra de potência de derivadas se aplica aqui? Lembrando que esta regra nada mais é do que a derivada em relação a "x", da função "x" elevado a "n". E que nós pegamos este expoente e jogamos para frente, ficando com "n" vezes "x" elevado a "n - 1". Esta aqui é a regra da potência para derivadas. Mas note que estas duas coisas não são parecidas. Neste caso, você deve fazer algumas manipulações algébricas. E note que 1/x é a mesma coisa que "x" elevado a "-1". Portanto, eu posso escrever isso como a derivada em relação a "x" de "x" elevado a "-1". Agora, se parece com isso, não é? Portanto, se aplicarmos a regra da potência, este -1 vem para frente do "x". E, com isso, vamos ter -1 vezes "x" e elevamos isso a "-1 -1", que vai ser a mesma coisa que "-x" elevado a "-2". Ou seja, a derivada desta função em relação a "x" é igual a isto aqui. Vamos ver mais um exemplo? Vamos dizer que nós temos aqui a função f(x) igual à raiz cúbica de "x". E o que queremos saber é a derivada desta função. E eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. De cara você já olha esta função e se pergunta: Espera aí, como eu vou fazer esta derivada? Principalmente, utilizando esta regra de potência? O segredo é reescrever isto aqui como uma potência. Você pode reescrever esta função f(x) como "x" elevado a 1/3. E se você utilizar a regra da potência para derivadas, este 1/3 vem para frente do "x". Então, vamos ter 1/3 vezes "x" elevado a "1/3 - 1". E isso vai ser igual a 1/3 vezes "x" elevado a "1/3 - 1", que vai ser igual a -2/3. Portanto, a derivada desta função é igual 1/3 vezes "x" elevado a "-2/3". Isso é bastante interessante, porque você pode utilizar essa regra de potência para resolver a derivada de outras milhares de funções. Vamos ver mais um exemplo? Vamos dizer que nós queremos aqui calcular a derivada em relação a "x" da função raiz cúbica de x² em "x = 8". Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isto sozinho. Para resolver isto, nós temos que nos concentrar nesta parte aqui primeiro, e, depois, utilizar o "x = 8". E, de novo, nós temos que manipular isto aqui e transformar em uma potência. E a derivada em relação a "x" da raiz cúbica de x², pode ser escrita como a derivada em relação a "x" de x² elevado a "1/3". Ou seja, eu manipulei esta raiz e transformei nisto aqui. E eu ainda posso ajeitar esta parte. Lembrando que quando nós temos uma potência de uma potência, nós repetimos a base e multiplicamos os expoentes. Portanto, vamos ter "x" elevado a "2 vezes 1/3", que é a mesma coisa que 2/3. E podemos utilizar a regra da potência aqui, pegando este 2/3 e jogando para frente do "x". E isso vai ser igual a 2/3 de "x" elevado a "2/3 - 1", que é igual a -1/3. Portanto, 2/3 de "x" elevado a "-1/3". E substituindo este "x = 8", nós vamos ter 2/3 que multiplica 8 elevado a "-1/3". Isso vai ser igual a 2/3 que multiplica 1/8 elevado a 1/3. Isto aqui é a mesma coisa que 2, já que 8 elevado a "1/3" é a mesma coisa que raiz cúbica de 8. E vamos ficar com 2/3 vezes 1/2 que é igual a 2/6. E que nós podemos simplificar, ficando com 1/3. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!