Exemplo resolvido: regra do produto com tabela

RKA8JV - A tabela a seguir apresenta os valores das funções f e h e também de suas derivadas f' e h' para "x = 3". Então, aqui, nós temos uma tabela para a função f(x), h(x) e também para as derivadas f'(x) e h'(x) para quando "x = 3". O que o problema está pedindo aqui para dizer é: avalie, ou seja, determine a derivada em relação a "x" entre o produto de f(x) e h(x) quando "x = 3". Ok, uma forma de fazer isso seria definindo uma outra função. Por exemplo, uma função g(x), em que essa função g(x) vai ser igual ao produto entre f(x) e h(x). Então g(x) vai ser igual a f(x) vezes h(x). Depois que nós definimos essa relação, nós podemos colocar tudo em termos de g(x). Então, por exemplo, vamos determinar a derivada aqui de g(x). Então, a derivada de g(x), ou seja, g'(x) é igual à derivada deste produto f(x) e h(x), e a derivada desse produto seria essa derivada aqui, certo? Então, nós temos que g'(x) = d/dx [f(x)h(x)], certo? Então, qual seria agora a derivada entre este produto? Pela regra do produto, quando nós queremos saber a derivada entre o produto de duas funções, basta simplesmente calcular a derivada da primeira função, ou seja, f'(x) vezes a segunda função, que é h(x), mais a primeira função, que é f(x), vezes a derivada da segunda função, ou seja, nós vamos ter a h'(x), certo? Então, a gente tem f'(x) vezes h(x) + f(x) vezes h'(x), ok? Bem, o que o problema está pedindo aqui é para determinar esta derivada quando "x = 3". Então nós queremos saber a derivada desta função g(x), ou seja, g'(x), e que isso é igual a f'(x) vezes h(x) + f(x) vezes h'(x). Então nós precisamos da derivada f' para "x = 3", vezes "h", para o ''x = 3", mais f(x) em que "x = 3", vezes a h'(x) em que "x = 3". Por sorte, nós temos tudo isso aqui nesta tabela, certo? Quando "x = 3", nós temos o f(x) = 6, o h(x) igual a zero, f'(x) = 6 e h'(x) = 4. Então, podemos fazer essa substituição aqui. Nós temos, que quando o f'(x) para o "x = 3" é igual a 6, então, nós temos essa informação aqui, certo? Nós podemos colocar aqui no lugar um valor igual 6, vezes a função "h" para o "x = 3", e nós também temos este valor aqui. A função "h" para o "x = 3" corresponde a zero. Então, nós temos um valor igual a zero aqui. A gente corta isso aqui e coloca o zero no lugar também, certo? A função "f" quando "x = 3", a gente também tem esse valor aqui, certo? f(x) sendo "x = 3". é um valor igual a 6, então nós também temos o 6 aqui e h'. Para quando "x = 3", h' vale 4. Então, isto aqui corresponde a 4, certo? Agora, basta simplesmente resolver esta expressão com estes valores que nós vamos chegar ao valor de g'(x). 6 vezes zero é igual a zero, então, a gente já tira esta parte aqui, porque 6 vezes zero é igual a zero, certo? Mais 6 vezes 4. 6 vezes 4 = 24, então, zero + 24 = 24. Este aqui vai ser o valor de g'(x). Então, a derivada em relação a "x" do produto entre "f" e h(x), quando "x = 3" vai ser igual a 24.