Exemplo resolvido: regra do produto com derivação implícita e explicita misturadas

RKA3JV - Seja "f" uma função, tal que f(-1) = 3 e a derivada de "f" no ponto -1 é igual a 5. Seja "g" uma função, tal que g(x) = 1/x. A função "f" é definida como f(x). F(x) = f(x) vezes g(x). Determine a derivada no ponto -1 de "F". Vamos aplicar aqui a regra do produto. Onde nós temos que F'(x) vai ser a derivada da primeira, vezes a segunda. Mais a primeira, vezes a derivada da segunda. Alguns pontos nós já temos, F'(-1) nós já temos o f'(-1). O g(-1) nós não temos, mas podemos calcular. g(-1) vai ser igual a 1/-1, o que dá -1. Ou seja, nós temos aqui o g(-1). Mais, o F(-1). Nós já temos também F(-1). Agora, quem é o g'(-1)? Ora, o g'(-1) vamos derivar. Se g(x) = 1/x. Nós vamos ter que g(x) é igual a "x" elevado a -1. Portanto, a derivada de g(x) vamos passar o expoente para frente e diminuir um expoente. Ou seja, dá -x elevado a -2. Ora, então g'(-1) vai ser igual a -1 elevado a -2. -1/1² que dá -1. Portanto, nós já temos o g'(-1). Substituindo os valores, nós vamos ter que f'(-1) é 5, g(-1) é -1. Mais, f(-1) é 3. Vezes, g'(-1) é -1. Portanto, vamos ter -5 + (-3) que vai ser igual a -8.