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Cálculo diferencial

Curso: Cálculo diferencial > Unidade 2

Lição 11: Regra do quociente
Matemática
Cálculo diferencial
Derivadas: definição e regras básicas
Regra do quociente
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Revisão da regra do quociente

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Revise seus conhecimentos sobre a regra do quociente para derivadas, e use-os para resolver problemas.

O que é a regra do quociente?

A regra do produto nos diz como derivar expressões que são o quociente de duas outras expressões mais simples:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, close bracket, equals, start fraction, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction
Basicamente, você toma a derivada de f multiplicada por g, e subtrai f multiplicada pela derivada de g.
Quer saber mais sobre a regra do quociente? Veja este vídeo.

Que problemas posso resolver com a regra do quociente?

Exemplo 1

Considere a seguinte derivada de start fraction, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, end fraction:
=ddx(sen⁡(x)x2)=ddx(sen⁡(x))x2−sen⁡(x)ddx(x2)(x2)2Regra do quociente=cos⁡(x)⋅x2−sen⁡(x)⋅2x(x2)2Derivesen⁡(x) e x2=x(xcos⁡(x)−2sen⁡(x))x4Simplifique=xcos⁡(x)−2sen⁡(x)x3Cancele os fatores comuns\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x^2}\right) \\\\ &=\dfrac{\dfrac{d}{dx}(\operatorname{sen}(x))x^2-\operatorname{sen}(x)\dfrac{d}{dx}(x^2)}{(x^2)^2}&&\gray{\text{Regra do quociente}} \\\\ &=\dfrac{\cos(x)\cdot x^2-\operatorname{sen}(x)\cdot 2x}{(x^2)^2}&&\gray{\text{Derive}\operatorname{sen}(x)\text{ e }x^2} \\\\ &=\dfrac{x\left(x\cos(x)-2\operatorname{sen}(x)\right)}{x^4}&&\gray{\text{Simplifique}} \\\\ &=\dfrac{x\cos(x)-2\operatorname{sen}(x)}{x^3}&&\gray{\text{Cancele os fatores comuns}} \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 1
  • Atual
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, e, start superscript, x, end superscript, end fraction
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Quer tentar resolver mais problemas como este? Confira este exercício.

Exemplo 2

Suponha que recebemos esta tabela de valores:
xf, left parenthesis, x, right parenthesisg, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
4minus, 4minus, 208
H, left parenthesis, x, right parenthesis é definida como start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, e temos que encontrar H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis.
A regra do quociente nos diz que H, prime, left parenthesis, x, right parenthesis é start fraction, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction. Isso significa que H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis é start fraction, f, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction. Agora vamos substituir os valores da tabela na expressão:
H′(4)=f′(4)g(4)−f(4)g′(4)[g(4)]2=(0)(−2)−(−4)(8)(−2)2=324=8\begin{aligned} H'(4)&=\dfrac{f'(4)g(4)-f(4)g'(4)}{[g(4)]^2} \\\\ &=\dfrac{(0)(-2)-(-4)(8)}{(-2)^2} \\\\ &=\dfrac{32}{4} \\\\ &=8 \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 1
  • Atual
xg, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 241minus, 12
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, g, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, h, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction
F, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Quer resolver mais problemas como esse? Confira esse exercício.

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