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Normal a y=𝑒ˣ/x²

Neste vídeo, encontramos a equação da reta normal à curva y=eË£/x² no ponto (1,e). Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Temos a função de f(x) que é igual a "eˣ" sobre "x²". Neste vídeo, eu quero encontrar a equação não da linha tangente, mas a equação da reta normal quando "x = 1". Então, nós queremos a equação da reta normal. Agora, eu sugiro que você pause o vídeo e tente fazer isto sozinho. Se precisar de uma dica, eu posso dizer que a inclinação da reta normal, eu posso dizer que a inclinação da reta normal será a recíproca negativa da inclinação da linha tangente. Se você imaginar uma curva assim e quiser achar a tangente de certo ponto, ela vai se parecer com isto aqui. A linha tangente se parecerá com isso, a reta normal é perpendicular à tangente, essa é a tangente e essa é a normal. Então, a reta normal vai ser perpendicular a esta. Deste jeito. E se esta aqui tem uma inclinação de "m", a recíproca negativa de "m" será -1/m. Então, esta é a dica. Eu sugiro que você encontre a equação da reta normal desta curva, quando x = 1. Ok, vamos lá! Vamos encontrar a inclinação da tangente tirada da recíproca negativa dela. Assim, encontramos a inclinação da normal. Para encontrar a inclinação da tangente, tiramos a derivada e avaliamos quando x = 1. Assim, f(x) = "eˣ" vezes "x⁻²". Então, a derivada de f'(x) será a derivada de "eˣ" que é apenas "eˣ", vezes "x⁻²" mais "eˣ" vezes a derivada de "x⁻²", que é "-2x⁻³". Eu apenas fiz uso da regra dos expoentes aqui. Então, se eu quero avaliar quando x = 1, isso será igual a, deixe-me usar a cor amarela aqui. Será igual a e¹, que é apenas "e", vezes 1⁻² que é apenas 1. Mais e¹ que é apenas "e", vezes -2 vezes 1⁻³. Então, vai ficar igual a -2. Então, vamos ter "e" vezes -2 que dá -2e. Então, vai ter "e" menos "2e" que é igual a "-e". Então, isto aqui vai ser a inclinação da reta tangente quando x = 1. E a inclinação da reta normal vai ser a recíproca negativa disto aqui. Então, como eu disse antes, a recíproca negativa disso vai ser -1 sobre isto aqui. Então, como é -1/-e vai dar 1/e. Então, esta aqui é a nossa recíproca negativa, é a nossa inclinação da reta normal. O nosso objetivo era encontrar a inclinação da reta normal e a fórmula desta reta. E sabemos que a fórmula de uma reta pode ser escrita como y = mx + b. No qual "m" é a inclinação. Então, podemos dizer que será igual y = 1/e. Estamos fazendo a reta normal vezes x + b. E para encontrar o "b", nós precisamos apenas conhecer um ponto que atravessamos. A reta atravessa o ponto x = 1. Quando x = 1, qual é o "y"? Bom, o "y" é "e" elevado a 1/1, que é "e". Então, isso atravessa o ponto 1e. Sabemos que quando x = 1, y = e. Agora, nós podemos encontrar o "b". Então, temos que e = 1/e + b. Nós podemos subtrair "1/e" dos dois lados. Então, teríamos que b = e - 1/e. Podemos escrever e² - 1/ e, ou podemos simplesmente deixar desta forma. Então, eu acho que agora nós podemos comemorar, porque finalmente temos a equação da linha normal. Nós sabemos que y = 1/e vezes x + b. E nós sabemos o "b". Acabamos de descobrir b = e -1/e. Então, esta aqui é a nossa equação da reta normal.