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Tangente a y=𝑒ˣ/(2+x³)

Neste vídeo, encontramos a equação da reta tangente à curva y=eË£/(2+x³) no ponto (1,e/3). Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Temos aqui uma equação "y = eˣ/(2 + x³)". Queremos saber qual é a equação da tangente que passa no ponto (1, e/3). Ora, temos que derivar esta equação. Então, vamos escrevê-la de outra forma. "y = eˣ (2 + x³)⁻¹". Para derivarmos, pegamos a derivada da primeira vezes a segunda, (2 + x³)⁻¹ mais a primeira vezes a derivada da segunda, que aqui vamos utilizar a regra da cadeia. Seria menos (2 + x³)⁻² vezes 3x². Ora, se queremos saber o valor no ponto 1, vamos substituir por 1, ou seja, vai ficar e¹, aqui temos 2 + 1, que é 3, é o inverso de 3, ou seja, é 1/3, mais e¹ vezes negativo de 2 mais 1, 3, o inverso elevado ao quadrado, que dá -1/9, vezes 3 vezes 1², que é 3. Então, esta conta vai ficar -3/9, que ia dar -1/3. Ou seja, a inclinação no ponto 1 vai ser e/3 - e/3, que é igual a zero. Essa é a inclinação da curva. E qual seria a reta tangente? Ou seja, do tipo "y = mx + b". A gente já sabe que a inclinação é zero e ele passa no ponto e/3, ou seja, "y" é constante igual a e/3, portanto, a equação é igual a "y = e/3". Vamos verificar na simulação e ver o que está acontecendo. Aqui está a simulação da nossa curva, aqui está a nossa equação e aqui está o ponto 1. Vamos colocar no ponto 1, a inclinação é zero, ela não tem inclinação nenhuma. Então, fico bastante confortável e "y = 0,9". 0,9 seria exatamente o número "e" dividido por 3 e/3, divide. 0,91, exatamente o que a gente achou aqui, portanto, a resposta bem satisfatória.