Retas secantes: desafio 2

RKA14C Para quais pontos do gráfico temos f(x) vezes f'(x) = 0? Primeiramente, se o produto de dois termos é igual a zero, isso quer dizer que um desses dois termos tem que ser igual a zero. Vamos começar procurando para qual ponto temos isto aqui: f(x) = 0. Bom, vamos olhar o gráfico da função imaginando que y = f(x). Vamos colocar aqui x no eixo horizontal. E os valores da função no eixo vertical, no eixo y. Vamos lá! Quando x = 0, a função está passando aqui em cima, no ponto A. Então, o valor da função de f(x) = 6. Se fizermos isso, se os valores de x forem variando aqui, os valores da função vão diminuindo, mas ainda assim são positivos. Bom, chegando nesta parte eles começam a aumentar, então continuam positivos. Aqui, temos uma nova queda. Com essa queda, ele encontra o eixo x aqui. Então, neste ponto aqui temos que f(x) = 0. Entretanto, esse ponto não é nenhum destes pontos aqui que foram selecionados para a gente de A até F. Aqui, queremos colocar um desses pontos de A até F. Portanto, vamos ter que passar aqui... Vamos mudar o nosso foco para f'(x). Vamos então fazer f'(x) = 0. Bom, vamos relembrar primeiro o que representa f'(x). A f'(x) representa a inclinação da reta tangente para aquele valor de x. Por exemplo, se eu tomo x = 0... Estamos com o gráfico passando no ponto A. Então, a inclinação da reta tangente vai ser um valor negativo. Se tomarmos x = 4, por exemplo, vamos ver que aqui está passando pelo ponto C. Então, se eu fizer a reta tangente ao gráfico neste ponto aqui, vamos ver que já vai dar um valor positivo. O que queremos é que f'(x) não dê nem positivo e nem negativo. Queremos que dê zero. Bom, se f'(x) vai ser zero, a inclinação da reta tangente tem que ser zero. Mas como fica uma reta com inclinação zero? Bom, se uma reta tem inclinação zero, é porque ela é uma reta horizontal. Vamos ter que procurar um ponto aqui desses que foram selecionados para nós. Vamos procurar quais deles, para qual ponto aqui, temos a inclinação da reta tangente igual a zero. Ou seja, a reta tangente vai ser uma reta horizontal. O único desses em que parece acontecer isso é o ponto B. Então, aqui no ponto B, a inclinação da reta tangente realmente parece ser igual a zero, parece ser uma reta horizontal essa reta tangente. Uma outra forma de você olhar aqui é que a taxa de variação instantânea para quando x = B, é praticamente igual a zero. Então, aqui temos que a inclinação da reta tangente para x = 2, no ponto B, vai ser igual a zero. Logo, a resposta que temos que colocar aqui é o ponto B. Deixa-me trocar a cor para ver se fica um pouco mais nítido. Então, aqui é o ponto B. Ficou bem melhor! Bom, vamos lá. Vamos ver agora esta expressão. Para qual ponto do gráfico temos f(x) - 6 sobre x com o valor máximo? Bom, se você se deparar com uma expressão desse tipo, principalmente se você estiver em uma aula de cálculo diferencial, pode perceber que ela lembra muito a expressão que usamos para calcular a inclinação da reta secante entre dois pontos de uma curva. Então, aqui seria a variação que temos em y, estamos fazendo a função aplicada em um certo valor de x menos a função aplicada em um outro valor de x, sobre x menos esse outro valor que estávamos considerando para x. Como não temos nada, aqui é x - 0. Então, se aqui f(0) = 6, beleza, já podemos interpretar isso dessa forma. Como temos (0, 6) aqui fazendo parte do nosso gráfico, quando x = 0, a função vale 6, então, f(0) = 6, e podemos interpretar isso como sendo uma forma de calcular a inclinação da reta secante entre dois pontos. Vamos escrever isso para ficar mais claro. Vou escrever aqui, então: f(x) - 6 sobre x - 0. E o que essa expressão representa para a gente? Isso é a inclinação da reta secante que passa pelo pontos... Ela é a reta secante que passa pelos pontos... Então, temos os pontos (x, f(x)) e também o ponto (0,6). Como esse ponto (0, 6) é o ponto A... x = 0 e y = 6, estamos aqui no ponto A. Então, vamos desenhar agora as retas secantes entre A e estes outros pontos que temos aqui. Vamos variar para os pontos selecionados aqui para ver quais deles podemos colocar na resposta, para ver se conseguimos responder o que está aqui embaixo. Vamos fazer isso. Então, entre A e B aqui, se fizermos a reta secante que passa por A e por B, vamos ver que a inclinação dessa reta é negativa. Se fizermos aqui entre A e C... Então, vamos fazer a inclinação da reta que passa por A e por C. Essa reta secante passando por A e por C também tem uma inclinação negativa. Mas repare que esta aqui era bem inclinada negativamente. Já esta aqui está menos inclinada negativamente. Portanto, a inclinação aqui está aumentando. O valor da inclinação está aumentando. Agora, se desenharmos aqui a reta secante passando por A e por D... Vamos fazer isso aqui. A reta secante aqui por A e por D. Quando fazemos a reta secante por A e por D, vemos que a inclinação dela já é maior que das outras duas. Ela também tem inclinação negativa, mas é bem suave a inclinação dela. Ela é bem menos inclinada negativamente, portanto, a inclinação já é maior do que as outras duas. Vamos ligar agora o A com o E. Então, A com E. Aqui vamos ter a reta secante passando por A e por E. E vemos que a inclinação dessa reta secante passando por A e por E já ficou aqui mais negativa que aquela reta que passou entre A e D. Então, ela já está ficando mais inclinada de novo, já está ficando menor a inclinação. Por fim, nós vamos fazer agora a inclinação entre A e F. A reta secante aqui entre A e F. Então, vamos fazer a reta secante entre A e F. Está bem longe de chegar até lá no F... Se fizermos aqui a reta secante entre A e F, vamos poder perceber que a inclinação dessa reta secante vai ser mais negativa, ela vai ser menor que as que já tínhamos feito para A e E e para A e D, principalmente. Então, vamos procurar... O que queremos aqui é quando vamos ter a maior inclinação. Ou, neste caso, como são todas negativas, seria a menos negativa, digamos assim. Então, vamos ter isso acontecendo quando estivermos olhando para o ponto D, que vimos que tem a maior das inclinações. Ou, pelo menos, a inclinação menos negativa. Então, quando pegarmos para x = 6, vamos ter f(6) aqui, um pouco mais que 5 e meio. Vai ficar f(6), que é um pouco mais do que 5 e meio, menos 6 sobre x, que é 6 - 0. Então, esta expressão aqui estará maximizada quando tomarmos x = 6. Então, no ponto D, vamos ter a inclinação menos negativa para a reta secante entre esses dois pontos.