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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 2
Lição 2: Retas secantes- Coeficiente angular de uma reta secante à curva
- Reta secante com diferença arbitrária
- Reta secante com ponto arbitrário
- Retas secantes e taxa de variação média com pontos arbitrários
- Reta secante com diferença arbitrária (com simplificação)
- Reta secante com ponto arbitrário (com simplificação)
- Retas secantes e taxa de variação média com pontos arbitrários (com simplificação)
- Retas secantes: desafio 1
- Retas secantes: desafio 2
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Reta secante com diferença arbitrária (com simplificação)
Neste vídeo, encontramos e simplificamos a expressão para o coeficiente angular da reta secante entre x=4 e x=4+h no gráfico de y=2x²+1.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Uma reta secante
intercepta a curva y = 2x² + 1 em dois pontos com abscissas
4 e 4 + h, com "h" diferente de zero. Qual é, em função de "h", o coeficiente angular desta reta secante? Sua resposta deve ser completamente
desenvolvida e simplificada. Nós sabemos que estes dois
pontos com estas abcissas pertencem à reta secante. E vamos analisar isto em
uma pequena tabela aqui. Nós temos aqui "x"
e y = 2x² + 1. Nós sabemos, então,
que quando "x = 4", "y" então será igual a 2 vezes 4² 4 no lugar do "x",
mais 1, que é a mesma coisa que 2 vezes 16 + 1. E isto resulta 33. Agora, vamos analisar o ponto
com a abscissa "4 + h". Ou seja, o "x" é "4 + h", e o "y" vai ser 2 vezes (4 + h)² + 1. Desenvolvendo os parênteses vamos ter 16. Mais, 2 vezes 4 vezes h,
que é 8h mais h². E tudo isto ainda mais 1. Desenvolvendo a multiplicação, teremos 2 vezes 16 é igual a 32.
2 vezes 8h é 16h. E 2 vezes h² é 2h², mais 1 32 + 1 dá 33. E ficamos então com
2h² + 16h + 33. Ou seja, temos dois pontos onde acontece a intersecção da reta secante com a curva. Um ponto tem a abscissa 4
e a ordenada 33. "x = 4" e "y = 33". E o outro ponto tem
a abscissa "4 + h". O "x" é "4 + h". E a ordenada, que é o "y",
é 2h² + 16h + 33. Agora, queremos achar o coeficiente angular da reta
que passa por estes dois pontos. E para calcular o coeficiente
angular de uma reta, sendo que eu conheço as
coordenadas de 2 pontos, nós fazemos a variação em "y" dividida pela a variação em "x". Δy / Δx. Vamos considerar que este
ponto de abscissa 4 + h, é o ponto final. E o ponto inicial é o ponto (4, 33). Então, a variação em "y", o Δy,
vai ser esta expressão, menos 33. 2h² + 16h + 33 - 33. Já cancelando o 33 do numerador. Isto tudo sobre a variação em "x",
que vai ser 4 + h - 4. Já cancelando o 4 aqui no denominador, ficamos com 2h² + 16h / h. Observe que numerador e denominador podem ser ambos divididos por "h", já que "h" é diferente de zero. Fazendo isto, aqui vamos
ter no denominador 1, aqui no 16h,
o "h" vai para 1. E o 2h² fica simplesmente 2h. Isto tudo, simplificado,
resulta em 2h + 16. E este é então o coeficiente angular
da reta secante que estava sendo procurado. Observe que ele está escrito em
termos de "h", em função de "h". Resumindo o que nós fizemos, então, foi encontrar as coordenadas dos dois pontos, já que eu conhecia as abscissas. Eu pude calcular as ordenadas a partir da expressão que define a curva. Então, calculamos o coeficiente angular
da reta que passa por estes 2 pontos. Até o próximo vídeo!