Reta secante com diferença arbitrária (com simplificação)

RKA3JV - Uma reta secante intercepta a curva y = 2x² + 1 em dois pontos com abscissas 4 e 4 + h, com "h" diferente de zero. Qual é, em função de "h", o coeficiente angular desta reta secante? Sua resposta deve ser completamente desenvolvida e simplificada. Nós sabemos que estes dois pontos com estas abcissas pertencem à reta secante. E vamos analisar isto em uma pequena tabela aqui. Nós temos aqui "x" e y = 2x² + 1. Nós sabemos, então, que quando "x = 4", "y" então será igual a 2 vezes 4² 4 no lugar do "x", mais 1, que é a mesma coisa que 2 vezes 16 + 1. E isto resulta 33. Agora, vamos analisar o ponto com a abscissa "4 + h". Ou seja, o "x" é "4 + h", e o "y" vai ser 2 vezes (4 + h)² + 1. Desenvolvendo os parênteses vamos ter 16. Mais, 2 vezes 4 vezes h, que é 8h mais h². E tudo isto ainda mais 1. Desenvolvendo a multiplicação, teremos 2 vezes 16 é igual a 32. 2 vezes 8h é 16h. E 2 vezes h² é 2h², mais 1 32 + 1 dá 33. E ficamos então com 2h² + 16h + 33. Ou seja, temos dois pontos onde acontece a intersecção da reta secante com a curva. Um ponto tem a abscissa 4 e a ordenada 33. "x = 4" e "y = 33". E o outro ponto tem a abscissa "4 + h". O "x" é "4 + h". E a ordenada, que é o "y", é 2h² + 16h + 33. Agora, queremos achar o coeficiente angular da reta que passa por estes dois pontos. E para calcular o coeficiente angular de uma reta, sendo que eu conheço as coordenadas de 2 pontos, nós fazemos a variação em "y" dividida pela a variação em "x". Δy / Δx. Vamos considerar que este ponto de abscissa 4 + h, é o ponto final. E o ponto inicial é o ponto (4, 33). Então, a variação em "y", o Δy, vai ser esta expressão, menos 33. 2h² + 16h + 33 - 33. Já cancelando o 33 do numerador. Isto tudo sobre a variação em "x", que vai ser 4 + h - 4. Já cancelando o 4 aqui no denominador, ficamos com 2h² + 16h / h. Observe que numerador e denominador podem ser ambos divididos por "h", já que "h" é diferente de zero. Fazendo isto, aqui vamos ter no denominador 1, aqui no 16h, o "h" vai para 1. E o 2h² fica simplesmente 2h. Isto tudo, simplificado, resulta em 2h + 16. E este é então o coeficiente angular da reta secante que estava sendo procurado. Observe que ele está escrito em termos de "h", em função de "h". Resumindo o que nós fizemos, então, foi encontrar as coordenadas dos dois pontos, já que eu conhecia as abscissas. Eu pude calcular as ordenadas a partir da expressão que define a curva. Então, calculamos o coeficiente angular da reta que passa por estes 2 pontos. Até o próximo vídeo!