Coeficiente angular de uma reta secante à curva

Vamos rever a ideia de coeficiente angular, que você deve lembrar das aulas de Álgebra. A inclinação não é nada mais que a taxa de variação de uma linha, ou a taxa de variação de y em função de x conforme andamos ao longo de uma linha. Você também pode ver isso como a medida de inclinação de uma linha. Então quanto mais inclinada uma linha for, mais positivo será seu coeficiente angular. Essa linha aqui tem um coeficiente angular positivo. Está crescendo conforme x cresce. Agora se ela tivesse uma inclinação ainda maior, se ela crescesse ainda mais conforme x cresce, então ela teria um coeficiente angular ainda maior. Só um lembrete, podemos imaginar a inclinação entre dois pontos, dois pontos definem uma linha e entre estes dois pontos, podemos encontrar a taxa de variação de y em função de x. Vamos inserir dois pontos aqui. Então vamos dizer que este ponto aqui, este valor de x é x índice.... bem isto é conhecido como x zero, ou x índice zero. E quando x é x zero para esta linha, y é y zero. Então este ponto é x zero vírgula y zero. Vamos dizer que temos outro ponto bem aqui. E vamos dizer que esse valor de x bem aqui é x índice um, e o valor de y aqui é y índice um. Temos então um ponto x um, y um. Como revisão, a inclinação desta linha, e uma linha por definição tem uma inclinação constante entre dois pontos que você escolha. A inclinação desta linha, a qual é frequentemente denominada pela letra m, é sua taxa de variação de y em função de x. Ou outro modo de pensar sobre isso é para uma determinada variação em x, quanto você está variando em y, ou variação em y dividida pela variação em x? Somente para lembrar, este triângulo é a letra grega "Delta". É um símbolo para qualquer tipo de variação. Então variação em y sobre variação de x. Vamos pensar no que isso será para nosso exemplo aqui em cima. Vamos pensar primeiro na variação em x. Estamos nos movendo de x zero para x um. Então nossa variação em x está bem aqui. Estamos iniciando em x zero e vamos para x um. Esta é nossa variação em x. Vou colocá-la em rosa. Esta é nossa variação em x. E ela é igual a? Se terminamos aqui e iniciamos aqui, vamos fazer somente ponto final menos ponto inicial. Então fazemos x um menos x zero, deste modo terei certeza que terei um valor positivo. Estou somente assumindo que x um é maior que x zero. Agora qual minha variação em y? Mais uma vez, ponto final de y menos ponto inicial de y. Ou seja, y um menos y zero. Agora você pode dizer: eu poderia ter feito y zero menos y um sobre x zero menos x um? Com certeza, você poderia ter feito isso. Você encontraria o negativo tanto no numerador quanto no denominador mas eles iram se cancelar. O importante é ser consistente. Se você está subtraindo seu valor inicial do seu valor final no numerador, você deve subtrair o seu valor inicial do seu valor final no denominador também. Então isso aqui vocês provavelmente se recordam das aulas de álgebra a definição de inclinação é a taxa de variação de y em relação a x, então é a taxa de variação do nosso eixo vertical em relação ao nosso eixo horizontal. Variação de nosso eixo vertical sobre variação de nosso eixo horizontal. Agora vou apresentar um enigma. Deixe-me desenhar outro eixo bem aqui. Vou movimentar um pouco para termos espaço Então isto era uma reta E uma reta tem inclinação constante por definição. Se você calcular a inclinação entre qualquer dois pontos, ela será constate para aquela linha. Mas o que acontece quando começamos a lidar com curvas? Quando começamos a lidar com curvas não-lineares? Então imagine uma curva que se assemelhe a algo assim. Qual é a taxa de variação de y em relação a x desta curva? Bem, vamos olhar isso em diferentes pontos para ao menos tentar aproximar do que possa ser em qualquer momento. Vamos dizer que este é um ponto em uma curva. Vamos chamá-lo de x um, e este de y um. E vamos dizer que este aqui seja outro ponto na curva: x dois, e este aqui denominaremos y dois. Então este é x um, este y um, este é x dois e este y dois. Não temos as ferramentas ainda, e este é o emocionante de cálculo, teremos em breve ferramentas para descobrir qual é a taxa de variação de y em relação a x exatamente neste ponto? Não temos ainda a ferramenta, mas usando somente as de álgebra, podemos pelo menos começar a pensar sobre qual é a taxa média da variação durante o intervalo de x um a x dois? Qual é a taxa média de variação? Bem, será somente quanto meu y variou, ou seja, a variação em y para esta variação em x. Então vamos calcular isto do mesmo jeito, y dois menos y um sobre x dois menos x um. Nossa variação em y durante este intervalo é igual a y dois menos y um, e nossa variação x será igual a x dois menos x um. Então, deste modo, poderemos descobrir a taxa de variação entre estes dois pontos. Outra maneira de pensar sobre isso, é que esta é a taxa de variação média para a curva entre x um e x dois. Esta é a taxa de variação média de y em relação a x neste intervalo. Mas o que mais descobrimos aqui? Descobrimos que a inclinação da reta que conecta estes dois pontos. A inclinação da reta que une estes dois pontos. E como chamamos uma linha que intersecta uma curva em exatamente dois pontos? Bem, nós a chamamos de secante. Então esta se trata de uma secante. O ponto aqui é que estamos extendendo a ideia de inclinação. Ok, já sabemos como encontrar a inclinação de uma reta. Para uma curva ainda não temos as ferramentas, o cálculo nos dará em breve, mas vamos usar nossas ferramentas de álgebra. Podemos pelo menos descobrir a taxa de variação média de uma curva ou função em um intervalo. Isto é exatamente a mesma coisa que a secante de uma linha. Agora somente um pouco de antecipação, para onde isso está nos levando? Como iremos chegar às ferramentas para descobrir a taxa de variação instantânea? Não apenas a média, mas imagine o que acontece se este ponto ficasse cada vez mais próximo deste outro ponto então a secante se aproximará cada vez mais da taxa instantânea de variação aqui, você pode até pensar nela como a inclinação da linha tangente. [Legendado por: Sérgio Fleury]