Vamos rever a ideia de
coeficiente angular, que você deve lembrar das
aulas de Álgebra. A inclinação não é nada mais que a taxa
de variação de uma linha, ou a taxa de variação de y em função de x conforme
andamos ao longo de uma linha. Você também pode ver isso como a
medida de inclinação de uma linha. Então quanto mais inclinada uma linha for,
mais positivo será seu coeficiente angular. Essa linha aqui tem um
coeficiente angular positivo. Está crescendo conforme x cresce. Agora se ela tivesse uma
inclinação ainda maior, se ela crescesse ainda mais
conforme x cresce, então ela teria um coeficiente
angular ainda maior. Só um lembrete, podemos imaginar a inclinação entre dois pontos,
dois pontos definem uma linha e entre estes dois pontos,
podemos encontrar a taxa de variação de y em função de x. Vamos inserir dois pontos aqui. Então vamos dizer que este ponto aqui,
este valor de x é x índice.... bem isto é conhecido como x zero, ou
x índice zero. E quando x é x zero para
esta linha, y é y zero. Então este ponto é x zero vírgula y zero. Vamos dizer que temos
outro ponto bem aqui. E vamos dizer que esse valor de x bem aqui é x índice um, e o valor
de y aqui é y índice um. Temos então um ponto x um, y um. Como revisão, a inclinação desta linha,
e uma linha por definição tem uma inclinação constante entre
dois pontos que você escolha. A inclinação desta linha, a qual é
frequentemente denominada pela letra m, é sua taxa de variação
de y em função de x. Ou outro modo de pensar sobre isso é para
uma determinada variação em x, quanto você está variando em y, ou
variação em y dividida pela variação em x? Somente para lembrar, este triângulo é a
letra grega "Delta". É um símbolo para
qualquer tipo de variação. Então variação em y sobre variação de x. Vamos pensar no que isso será para
nosso exemplo aqui em cima. Vamos pensar primeiro na variação em x. Estamos nos movendo de x zero para x um. Então nossa variação em x está bem aqui. Estamos iniciando em x zero
e vamos para x um. Esta é nossa variação em x. Vou colocá-la em rosa. Esta é nossa variação em x. E ela é igual a? Se terminamos aqui e iniciamos aqui, vamos fazer somente ponto
final menos ponto inicial. Então fazemos x um menos x zero, deste modo terei certeza que
terei um valor positivo. Estou somente assumindo que
x um é maior que x zero. Agora qual minha variação em y? Mais uma vez, ponto final de
y menos ponto inicial de y. Ou seja, y um menos y zero. Agora você pode dizer:
eu poderia ter feito y zero menos y um sobre x zero menos x um? Com certeza, você poderia ter feito isso. Você encontraria o negativo tanto no
numerador quanto no denominador mas eles iram se cancelar. O importante é ser consistente. Se você está subtraindo seu valor inicial do seu valor final no numerador, você deve subtrair o seu valor inicial do seu valor final no denominador também. Então isso aqui vocês provavelmente
se recordam das aulas de álgebra a definição de inclinação é a taxa
de variação de y em relação a x, então é a taxa de variação do nosso eixo vertical em relação
ao nosso eixo horizontal. Variação de nosso eixo vertical sobre
variação de nosso eixo horizontal. Agora vou apresentar um enigma. Deixe-me desenhar outro eixo bem aqui. Vou movimentar um pouco para termos espaço Então isto era uma reta E uma reta tem inclinação
constante por definição. Se você calcular a inclinação entre
qualquer dois pontos, ela será constate para aquela linha. Mas o que acontece quando
começamos a lidar com curvas? Quando começamos a lidar
com curvas não-lineares? Então imagine uma curva que se assemelhe a algo assim. Qual é a taxa de variação de y em
relação a x desta curva? Bem, vamos olhar isso em diferentes pontos para ao menos tentar aproximar do
que possa ser em qualquer momento. Vamos dizer que este é um
ponto em uma curva. Vamos chamá-lo de x um, e este de y um. E vamos dizer que este aqui
seja outro ponto na curva: x dois, e este aqui denominaremos y dois. Então este é x um, este y um, este
é x dois e este y dois. Não temos as ferramentas ainda, e este é o emocionante de cálculo,
teremos em breve ferramentas para descobrir qual é
a taxa de variação de y em relação a x
exatamente neste ponto? Não temos ainda a ferramenta, mas usando somente as de álgebra, podemos
pelo menos começar a pensar sobre qual é a taxa média da variação durante o
intervalo de x um a x dois? Qual é a taxa média de variação? Bem, será somente quanto meu y variou, ou seja, a variação em y para esta variação em x. Então vamos calcular isto do mesmo jeito, y dois menos y um sobre
x dois menos x um. Nossa variação em y
durante este intervalo é igual a y dois menos y um, e nossa variação x será igual a x dois menos x um. Então, deste modo, poderemos descobrir a taxa de variação entre
estes dois pontos. Outra maneira de pensar sobre isso,
é que esta é a taxa de variação média para a curva entre
x um e x dois. Esta é a taxa de variação média de y em
relação a x neste intervalo. Mas o que mais descobrimos aqui? Descobrimos que a inclinação da reta
que conecta estes dois pontos. A inclinação da reta que
une estes dois pontos. E como chamamos uma linha que intersecta
uma curva em exatamente dois pontos? Bem, nós a chamamos de secante. Então esta se trata de uma secante. O ponto aqui é que estamos
extendendo a ideia de inclinação. Ok, já sabemos como encontrar
a inclinação de uma reta. Para uma curva ainda não temos as
ferramentas, o cálculo nos dará em breve, mas vamos usar nossas
ferramentas de álgebra. Podemos pelo menos descobrir
a taxa de variação média de uma curva ou função
em um intervalo. Isto é exatamente a mesma coisa
que a secante de uma linha. Agora somente um pouco de antecipação,
para onde isso está nos levando? Como iremos chegar às ferramentas para
descobrir a taxa de variação instantânea? Não apenas a média, mas imagine
o que acontece se este ponto ficasse cada vez mais próximo
deste outro ponto então a secante se
aproximará cada vez mais da taxa instantânea de variação aqui, você pode até pensar nela como a
inclinação da linha tangente. [Legendado por: Sérgio Fleury]