Retas secantes: desafio 1

RKA8JV - Considere o gráfico da função f(x) que passa por três pontos, como demonstrado. Estes são os três pontos e esta curva em azul é f(x). Identifique quais afirmações são verdadeiras. E elas são, a primeira diz que "f(-a) < 1 - f(-a)/a" Isso parece ser uma informação bizarra. Como podemos compreender se isso é verdade diante disso aqui? Vamos, passo a passo, ver se alguma coisa faz sentido. Então, f(-a), onde vemos isso aqui? Bem, isso aqui é o f(-a), este é o ponto "x = -o" Este é "-o" e este "y = f(-a)" . O que nós sabemos sobre f(-a) com base no que vemos no gráfico, é que f(-a) está entre zero e 1, então podemos escrever que "0 < f(-a) < 1". Logo, isso é tudo que posso deduzir sobre f(-a) logo de início. Agora, vamos ver essa afirmação maluca. "1 - f(-a)/a". O que é isso? Bem, vamos pensar sobre o que acontece se nós pegarmos a secante, se tentarmos encontrar o coeficiente da linha secante entre este ponto e este ponto. Se quisermos encontrar a taxa média de mudança entre o ponto (-a, f(-a)) e o ponto (0, 1). E se esse nosso ponto final, nossa mudança em "y", for "1 - f(-a)", então, "1 - f(-a)" é igual à nossa mudança em "y''. Nossa mudança em ''x", saindo de "-a" para zero, será igual a zero - (-a), que é igual a "a'' positivo. Então, isso é basicamente a nossa mudança em "x" sobre nossa mudança em ''y'', desse ponto até este ponto. Esta é a nossa taxa média de mudança, desse ponto para esse ponto, ou você diria que este é o coeficiente da secante. Então, a linha secante seria algo como isso aqui. Então, isso é igual à inclinação da secante do ponto (-a, f(-a)) ao ponto (0, 1). Então, olhando para o gráfico logo aqui, o que sabemos sobre essa inclinação ou coeficiente? Em particular, o que podemos afirmar sobre aquele coeficiente em relação a, digamos, zero ou 1? Ou algo assim? Vamos pensar sobre como uma linha com coeficiente 1 se pareceria. Bem, a linha com coeficiente 1, especificamente uma que passou por este ponto logo aqui, seria algo assim. Uma linha de coeficiente 1 se parceria como esta, então, esta linha logo aqui, que eu acabei de desenhar, vai do ponto (-1, 0) ao ponto (0, 1). Então, se a linha verde tem um coeficiente de 1, essa linha azul tem o coeficiente diferente, a linha azul é mais ou menos inclinada que a linha verde? É visível que esta linha secante é mais profunda que a linha verde, ela está aumentando rapidamente e terá um coeficiente maior. Então, olhando este gráfico, nós podemos ver que esta linha azul tem o coeficiente maior do que 1, ou podemos dizer que o coeficiente da linha secante de (-a, f(-a)) para (0, 1) será maior do que 1, então, isso aqui é maior do que 1. Bom, então, esta coisa aqui é menor do que 1 e esta aqui é maior do que 1. Então, esta aqui é menor do que aquela ali, então isto aqui é verdadeiro. Agora vamos comparar o coeficiente da linha secante, que é isso aqui, e que tem o mesmo valor do segundo item da questão anterior. Estamos comparando este coeficiente com isso aqui f(a) - 1/a. Este é o coeficiente desta linha secante, vou tentar deixar com mais contraste. Vou fazer isso de laranja. Então, aquele é o coeficiente desta linha secante, esta linha secante bem aqui. Então, qual delas tem um coeficiente maior? Está bem claro que a linha secante azul tem um coeficiente maior do que a laranja, mas o coeficiente azul é menor do que o laranja na alternativa aqui, então, não pode ser verdadeiro, isso não é verdade. E finalmente, vamos ver esta aqui. f(a) - f(-a)/2a. Este logo aqui é o coeficiente da secante entre, isso aqui é o coeficiente da secante entre este ponto aqui e este ponto aqui. A nossa mudança em "y" é f(a) - f(-a), e a nossa mudança em "x" é "a - (-a), que é 2a. Então, essa aqui é a nossa linha secante, bem aqui. Eles estão comparando aquele coeficiente com este coeficiente aqui. Então, f(a) - 1 é nossa mudança em "y" e o "sobre a" é nossa mudança em "x". E você poderia imediatamente visualizar esse tom marrom aqui. O caminho daqui para cá é claramente mais inclinado que este outro aqui. Sabemos que a taxa média da mudança daqui para cá será maior que a taxa média da mudança daqui para cá, porque pelo menos, do "-a" ao zero nós fomos aumentando a uma taxa muito mais rápida, e então, desaceleramos para essa taxa. A taxa sobre o intervalo inteiro será definitivamente maior do que a que temos do zero ao "a". Então, esta alternativa também não é verdadeira. Nós já sabemos, então, que ela é falsa. Estas duas seriam verdadeiras se nós trocássemos os sinais. Então, a única alternativa que se aplica é a primeira.