Limites de funções definidas por partes: valor absoluto

digamos que temos uma função real definida por fdx igual a módulo de x - 3 sobre x - 3 e queremos saber qual é o limite do fx quando x se aproxima de três com uma rápida observação aqui temos pela expressão que define a função que a função não está definida para x igual a 3 x 2 e 3 teríamos 10 sobre zero e portanto fdx não estaria definida para estudar então este limite vamos tentar representar esta função de uma maneira um pouco diferente já que a função não está definida para x igual a 3 por causa do denominador e olhando para o numerador que temos módulo de x - 3 fica claro que devemos olhar para a função em dois momentos um deles em que o x é menor que 3 em um outro quando x é maior que 3 vamos começar olhando aqui para quando x é maior que 3 e como fica esta expressão simplificada quando x a maior que 3 colocando valores de x maiores do que três aqui no numerador teremos no módulo valor positivo e um módulo de um valor positivo é ele mesmo ou seja teríamos o fx igual à x - 3 sobre x menos três porque se os x é maior que 3 o numerador é um valor positivo módulo de um valor positivo ele mesmo então eu posso simplesmente tirar as barrinhas do módulo e eu terei a mesma coisa portanto fdx guaches menos três sobre x - 3 e evidentemente podemos escrever isso de uma maneira bem mais simples se o x for maior que 3 o fx então é igual a 1 x 1 - 3 / ele mesmo dá um td que os x não seja 3 e é o que temos aqui da mesma forma vamos analisar a função fdx definida para quando x é menor do que 3 quando x é menor do que 3 entre os módulos vamos ter um valor negativo e o módulo de um valor negativo é simplesmente o oposto dele então se temos x - três na bahia dos módulos ao tirar a bainha dos módulos vamos ter o oposto de x menos 3 ou seja menos x menos três então o posto de um número / ele mesmo resulta em menos 11 ou seja o fdx é igual a menos 15 x for menor do que três se pode ficar um pouco mais seguro sobre isso examinando essa mesma situação trocando x por números e ver o que acontece felizmente valores maiores do que 3 para x você vai ver que o fx dá um experimente valores menores do que três para x você vai ver que o fdx resulta em menos 1 vamos visualizar graficamente o que temos então com essa função vou desenhar os eixos do sistema cartesiano ortogonal aqui eixo das aves issa x eixo das ordenadas y igual a fdx e o cuidado que temos que terá quando x vale3 aqui no eixo x 123 que é o que temos que tomar cuidado 45 poderíamos continuar aqui no eixo das ordenadas 12 aqui temos 1 - 1 nós já sabemos que a nossa função não é definida para x go 3 mas se os x é maior que 3 o fx é sempre igual a 1 então o seu gráfico vai se parecer com isto uma semi reta paralela ao eixo x não incluindo x igual a 3 mas de x maior que 3 em diante a mesma ideia para x menor que 3 o fx vai ser sempre igual a menos 11 outra semi reta paralelo o eixo x e não temos aqui o ponto em que x vale3 ea pergunta é justamente qual é o limite do fdx quando x se aproximar 3 vamos começar examinando o limite de fdx quando che se aproxima 3 pela esquerda ou seja por valores de x menores do que três então limite de fdx quando x se aproxima quando se estende a 3 pela esquerda ou seja por valores menores do que três este sinal de menos sobre escrito ao 3 indica que estamos nos aproximando de 3 pela esquerda portanto por valores menores do que três se tomarmos o valor de x por exemplo 10 o fdx a -1 se tomarmos um para xof1 é menos um se tomarmos 2f de 2 - 1 se tomarmos 2,5 efe de 2,5 é menos um e se foram chegando bem perto do 3 por exemplo se o x for 2,99 9999 o fx é menos um então o limite de fdx quando xistem dia 3 pela esquerda é igual a menos um olhar um pouquinho agora para o limite de fdx quando xistem dia 3 pela direita ou seja aproximando-se de três por valores maiores do que três veja aqui que se os x é igual a 5 o fdx é igual a 1 quando x é 4o fdx é um também quando x é igual a 3,000 o fdx é igual a um então o limite de fdx quando x tende a 3 pela direita ou seja por valores maiores do que três esse limite vale 1 então agora parece algo em que temos que tomar cuidado o limite quando nos aproximamos de x pela esquerda é um valor que o limite quando nos aproximamos de x pela direita é outro valor e quando isso acontece nós dizemos que o limite do fx quando se estende a 3 não existe ou seja tivemos um limite aproximando nos de três pela esquerda e outro valor permite aproximando nos de três pela direita então o limite de fx quando se estende a 3 não existe podemos dizer isto de outra forma generalizando um pouco mais o limite quando x tem um valor cd1 fdx é igual ao valor l6 somente se o limite de fdx quando x tende a ser pela esquerda for igual ao limite de fdx quando x tende a ser pela direita e isso observamos não aconteceu neste nosso exemplo o limite quando x tende a 3 pela esquerda do fx deu menos 1 e com x tendendo a 3 pela direita resultou em um positivo e isso nos leva a concluir que o limite de fdx quando se estende a 3 não existe até o próximo vídeo