Limites de funções trigonométricas

RKA22JL - Neste vídeo, vamos estudar limites envolvendo funções trigonométricas. Vamos começar pelo limite de seno de “x” quando ele tende a “pi” (π). Sugiro que você pause o vídeo e ache a resposta primeiro. Vamos nos lembrar de que seno e cosseno de “x” são definidos para quaisquer valores reais de “x”. Podemos colocar qualquer número aqui para o “x” e nós conseguiremos calcular o seno desse valor. Além disso, as funções seno e cosseno são contínuas para todo o domínio dos reais. Então, para seno de “x”, já que é uma função contínua, e como o seno está definido para π, para o seno de π o limite, com “x” tendendo a π, do seno de “x”, é igual ao valor da função nesse valor de “x”, ou seja, é igual ao seno de π. E nós sabemos que o seno de π é zero. Vamos fazer algo parecido com o cosseno de “x”. Vamos, então, olhar para o limite do cosseno de “x”, com “x” tendendo a π sobre 4. Mais uma vez, o cosseno é definido para todos os valores reais de “x” e, também, é uma função contínua. Então, este limite é simplesmente o valor de cosseno quando “x” vale π sobre 4. Isso vai ser igual à raiz quadrada de 2 sobre 2. Primeiro quadrante, isso significaria o cosseno de 45 graus. Em geral, se eu estiver lidando com seno ou cosseno, o limite, quando “x” tende a um valor “a” do seno de “x”, vai ser igual ao seno de “a”, e isso vale para qualquer número real “a”. Para o cosseno de “x”, vale da mesma maneira. Limite do cosseno de “x” quando “x” tende a um valor real “a” é igual ao cosseno desse número “a”. Isso acontece porque as funções seno e cosseno são contínuas e definidas para todos os números reais. São contínuas em seu domínio inteiro. Vamos, agora, avançar um pouquinho e analisar situações que envolvem funções trigonométricas de uma maneira um pouco mais interessante. Vamos obter o limite com “x” tendendo a π da tangente de “x”. O que vai acontecer aqui? Observe que o limite da tangente de “x”, com “x” tendendo a π, pode ser reescrito como o limite de seno de “x” sobre o cosseno de “x”. Lembre-se de que o seno e o cosseno são ambos definidos para “x” valendo π. Então, podemos substituir o “x” por π. Aqui, esse limite, então, fica igual ao seno de π, dividido pelo cosseno de π e isso é igual a zero dividido por -1, que é zero. Perfeito. O limite da tangente de “x” quando ele tende a π é zero. Agora, qual seria o limite da tangente de “x” quando ele tende a π sobre 2? Vamos fazer a mesma análise. Estamos falando do limite de seno de “x” sobre cosseno de “x”, quando ele tende a π sobre 2. Agora, o seno de π sobre 2 é 1. Por outro lado, o cosseno de π sobre 2 é zero. Fazendo a devida substituição, esse limite seria igual a 1 dividido por zero, que sabemos que não existe. Esse limite não existe e veja que também π sobre 2 não faz parte do domínio da função tangente de “x”. De maneira geral, para as funções trigonométricas, seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente, se nós estivermos tratando de um limite de alguma delas para o “x” tendendo ao número que pertence ao domínio delas, esse limite será o valor da função com o “x” valendo aquele valor. Por outro lado, se em alguma delas nós precisarmos calcular o limite quando “x” tende a um valor que não está em seu domínio, há uma boa chance de esse limite não existir. De fato, aqui nesse nosso último cálculo não existe o limite, e, de fato, π sobre 2 não faz parte do domínio da função tangente. No gráfico da função tangente, nós temos uma assíntota vertical em π sobre 2. Vamos pensar agora no limite da cotangente de “x” quando ele tende a π. Como sempre, pause o vídeo. Tente calcular você sozinho, primeiro. Vamos lá? Primeiro, vamos lembrar que cotangente de “x” é cosseno de “x” sobre seno de “x”, é o inverso da tangente, portanto, o inverso de seno sobre cosseno. Então, queremos o limite quando o “x” tende a π de cosseno sobre seno de “x”. π, que está no domínio da função cotangente de “x”, basta substituir π no cálculo de cosseno sobre seno e nós vamos ter -1 sobre zero, ou seja, esse limite não existe. E, de fato, π não está no domínio da função cotangente. Se você fizer o gráfico da função cotangente, você vai ver que esse limite não existe de fato. Uma vez mais, π não está no domínio da cotangente, então esse limite tem uma boa chance de não existir. Entretanto, quando “x” tende a um valor que está no domínio da função trigonométrica, o limite é o valor da função naquele ponto. Particularmente, para seno e cosseno, ambas são definidas para todos os números reais e são contínuas em todo o seu domínio. Então, qualquer limite envolvendo a função seno ou a função cosseno existe, e o valor dele é o valor da função naquele ponto. Até o próximo vídeo!