Tipos de descontinuidades

RKA4JL - O que vamos fazer neste vídeo é tratar de alguns tipos de descontinuidade com que provavelmente você já se deparou por aí. Isso está relacionado a estudar limites laterais. Primeiro vamos verificar a classificação destas descontinuidades. Aqui à esquerda você vê esta curva e ela se parece com o gráfico de y igual a x² até que você chega em x igual a 3 e ali em vez da função valer x², 3², portanto, o valor dela é 4 e dali em diante ela volta a ser, possivelmente, x². Esta é conhecida como descontinuidade de ponto ou descontinuidade removível, e isso por razões óbvias: existe a descontinuidade neste ponto, no qual podemos imaginar a função sendo definida novamente naquele ponto, e nesse ponto, se não houvesse a remoção dessa "parte da função", ela seria contínua, então foi uma descontinuidade removível. Mas como podemos analisar isso sob a definição de continuidade? Vamos nos lembrar de que a função f é contínua se, e somente se, a função contínua em x igual a c se, e somente se, o limite quando x tende a esse valor c de f(x) for igual ao valor do f(c). Então por que esta primeira continuidade falha? Porque os limites à esquerda e à direita de fato existem. Então aqui digamos que no x igual a 3, quando x tende a 3, observe que chegando próximo desse ponto verificamos que esse limite é 9, mas esse não é o valor da função quando x vale 3. O valor da função quando x vale 3 é outro. Pelo ponto que temos aqui verificamos que é 4. E como f(3) é 4, é diferente do limite do f(x) quando x é 3, a função não é contínua nesse ponto. Veja então que temos a existência dos 2 limites laterais com x tendendo a 3 pela esquerda e pela direita isso resulta no mesmo valor, o limite existe, mas a função não é contínua. Observe ainda que a função é definida em x igual a 3, mas o limite não é igual a valor da função nesse valor de x. Observe também que o limite pode existir, mas a função pode não estar definida naquele valor para o qual x tende. O limite existe, mas a função não é contínua. E é assim que nós definimos a descontinuidade do ponto ou removível, e isso com base na definição de continuidade a partir da ideia do limite. Vamos ao próximo exemplo. Se eu fizer um teste intuitivo de continuidade, com o meu lápis percorrendo o gráfico da esquerda para a direita, quando eu vou chegando próximo de x igual a 2, ao passar por x igual a 2 eu não consigo continuar o gráfico sem tirar o lápis do papel. Isso é um bom sinal de que existe descontinuidade. No primeiro exemplo acontece a mesma coisa. Quando eu vou acompanhando o gráfico, chegando naquele ponto onde x vale 3 eu preciso tirar o lápis do papel para colocar sobre o ponto do gráfico que está fora da linha contínua e depois tirar de novo o lápis do papel para continuar o gráfico da função. Isso é uma ideia intuitiva da descontinuidade. Voltando ao segundo exemplo, observamos que este salto que existe quando eu vou chegando em x igual a 2, eu dou o salto e continuo pelo gráfico da função. Esta é a descontinuidade de salto. Vamos observar os limites aqui. Observe que o limite à esquerda e à direita existem, mas evidentemente eles não assumem o mesmo valor. Então o limite da função com x tendendo ao valor aqui, que parece ser x igual a 2, não existe. Neste exemplo em particular podemos perceber que o gráfico para valores de x menores que ou iguais a 2 esse gráfico se parece com o gráfico de y igual a x² e depois para x maior que 2 esse gráfico pode se parecer, por exemplo, com a raiz quadrada de x. Então, neste caso, o limite de f(x) quando x se aproxima de 2, tende a 2 pela esquerda, é igual a 4. Observando aqui, estamos nos aproximando desse ponto onde x igual a 2 e o limite com x tendendo a 2 pela esquerda é o próprio valor da função, que é 4. Por outro lado, o limite com x tendendo a 2 pela direita de f(x) vale quanto? Aqui vamos admitir que este gráfico é o gráfico da raiz quadrada de x e aproximando pela direita do número 2 temos, então, raiz quadrada de 2 para o valor deste limite, o que foi uma suposição a ideia de ser a raiz quadrada de x, mas é o fato de perceber que pela esquerda ou pela direita os limites têm valores diferentes. Isso nos permite concluir que o limite quando x tende a 2 nesse caso não existe, embora os dois limites laterais existam, mas aqui têm valores diferentes, e evidentemente, então, o limite quando x tende a 2, ou quando x tende a c, não pode ser o valor da função naquele ponto, ainda que a função esteja definida para x igual àquele valor neste exemplo dois. Isso define, então, a descontinuidade de salto e intuitivamente você vê o salto quando você tenta acompanhar o gráfico passando o lápis por cima dele. Finalmente aqui neste terceiro exemplo temos a descontinuidade infinita na qual existe uma assíntota vertical. Intuitivamente você vê aqui a assíntota e neste exemplo temos uma assíntota quando x vale 2. Se formos com o lápis, passando pelo gráfico a partir da esquerda, e formos continuando para sempre, infinitamente nós vamos descendo, descendo, descendo; não teríamos limite aqui. Por outro lado, se eu tenho que chegar ao valor do x pela direita eu vou ter a mesma situação ilimitadamente, só que para cima, para valores positivos da função. Mesmo que eu continuasse infinitamente traçando esse gráfico com o meu lápis, eu não conseguiria passar de um lado do gráfico para o outro sem tirar o meu lápis do papel. Isso já dá uma ideia intuitiva de descontinuidade. Se você voltar para a ideia dos limites, os limites laterais aqui são limitados, tendem ao infinito, ou seja, eles não existem, e se os limites não existem, obviamente não podemos atender a definição de função contínua. Podemos dizer, então, que o limite quando x tende a 2 pela esquerda de f(x), podemos verificar que ele vai ficando cada vez mais negativo então, entre aspas, escrevemos que ele é igual a menos infinito, embora o mais correto seja dizer que não existe o limite, é uma situação ilimitada. Por outro lado, o limite com x tendendo a 2 pela direita de f(x) é também ilimitado, ele seria igual a mais positivo, mas aqui também vamos dizer mais corretamente que é ilimitado. E já que eles são ilimitados, esse limite não existe. Não é possível, então, definir essa função como contínua. Então no primeiro exemplo temos uma descontinuidade removível, no segundo, a descontinuidade de salto e no terceiro, a descontinuidade infinita, que é aquela que envolve a assíntota vertical. Até o próximo vídeo!