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Definição formal de limites (parte 3): a definição

A definição épsilon-delta de limites diz que o limite de f(x) em x=c é L se para qualquer ε>0 há um δ>0 tal que, se a distância entre x e c é menor do que δ, então a distância entre f(x) e L for menor que ε. Esta é uma formulação da noção intuitiva de que podemos nos aproximar de L tanto quanto quisermos. Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar starky tree style do usuário João
    Certo, mas e para funções decrescentes, aquelas que conforme x aumenta, f(x) ou y diminui? como os fatores delta e épsilon funcionam em uma função com esse comportamento?
    (2 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
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Transcrição de vídeo

RKA14C Aqui nós temos o limite de f(x) = L quando x→c. Vamos tratar esse limite por meio de duas grandezas infinitesimais chamadas de delta (δ) e épsilon (ε). Delta vai ser a variação que o eixo x em torno do c pode variar. Ou seja, aqui você tem c - δ, e aqui vc tem c + δ. Épsilon vai ser a grandeza que vai variar em torno do limite L. Aqui você vai ter L + ε, e aqui você vai ter L - ε. A definição do limite por essas duas grandezas infinitesimais é interessante, porque, primeiro: este ponto não precisa estar definido. Esse ponto pode pertencer a um ponto que não tem continuidade na função. O que importa são as tendências laterais. A primeira coisa que nós vamos colocar é que você pode obter f(x) o mais próximo possível de L, fazendo com que x seja suficientemente próximo de c. O que queremos dizer com isso? Você pode diminuir esse espaço entre L + ε e L - ε e, à medida que você diminui esse espaço, vai encontrar um c em que o delta é menor. Ou seja, em outras palavras, podemos dizer que, dado ε > 0, podemos achar δ > 0 tal que |x - c| < δ, o que implica para que a diferença da função para o seu limite seja menor do que a grandeza infinitesimal ε. Ou seja, se você pega qualquer espaço por aqui, vai ter um correspondente em que o delta é menor e o c varia menos. Com isso, você se aproxima do limite tanto pelo lado da direita quanto pelo lado da esquerda. Ou seja, você diz quanto f(x) se aproxima de L, e obviamente dá um valor para ε. A partir do momento em que você me diz quanto você diminuiu na distância de f(x) para L, então, de volta, encontro outro valor de δ em que x se aproxima de c, e f(x) fica entre ε e L. Ou seja, quando você tem o limite e se aproxima desse limite, cada vez que você se aproxima, você tem o correspondente delta que te dá esse valor da função. Lembre-se que épsilon e delta são grandezas infinitesimais, elas não podem ser iguais a zero. Ou seja, você nunca chega ao valor igual a c, mas você pode se aproximar tanto quanto você quiser de c. Então, se você se aproxima do limite diminuindo o valor de ε, automaticamente, o x se aproxima de c, diminuindo o valor de delta. Com isso, nós conseguimos definir o limite em função de duas grandezas infinitesimais, delta e épsilon, em que elas nunca chegam ao valor igual a c, mas elas podem chegar tão próximas quanto quiserem. Ou seja, à medida que eu diminuo épsilon, eu diminuo o delta, até que a grandeza chega tão próxima quanto eu quiser de c, mas nunca chega em c. Essa é a definição do limite por meio das grandezas infinitesimais épsilon e delta.