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Definição formal de limites (parte 1): revisão de intuição

Um breve lembrete do que são limites, para estabelecer a definição formal de um limite. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Vamos revisar um pouco a nossa intuição sobre o que é o limite. Bom, vamos começar aqui desenhando os eixos coordenados. Então, nós vamos ter um eixo horizontal e nós vamos ter um eixo vertical. Então, aqui o eixo vertical a gente conhece como eixo "y". E aqui nós vamos ter um eixo horizontal, este eixo horizontal é conhecido como eixo "x". E nós vamos desenhar agora o gráfico de uma função qualquer. Digamos que seja algo, mais ou menos, assim. Então, vamos chamar esta curva aqui de y = f(x). Poderia ser uma curva qualquer, mas eu acho que esta aqui ficou boa, ficou adequada para o que vamos fazer. Vamos supor, também, que a gente tenha um ponto aqui, onde esta função não está definida. Na verdade, eu não precisaria fazer isto. A gente pode calcular o limite de uma função para um ponto onde ela está definida. Mas por que a gente vai fazer aqui? Para melhorar o entendimento, até que você pegue o jeito de trabalhar com limite, a gente vai fazer isso por um ponto onde ela não está definida. Então, aqui, do jeito que eu desenhei, a gente tem um ponto aqui onde esta função, na verdade, não foi definida. Então, digamos que quando "x = c" a gente tem que a função não está definida. Então, a ideia que a gente tem aqui sobre o limite, é o que acontece com f(x), com os valores f(x) quando a gente vai fazendo "x" ficar cada vez mais próximo aqui do nosso valor "c"? Então, se a gente fizer o "x" se aproximar de "c", tanto pela esquerda como pela direita. Vamos fazer pelos dois lados. O que acontece com os valores de f(x)? Então, digamos que a gente venha aqui e tome um valor menor que "c", antes de "c". O que acontece quando a gente observa aqui com o valor da função aqui neste ponto? Então, aqui para este ponto, você vai tomar a função como y = f(x). Então, a gente vai ter que a função está aqui, assim. Para este cara. Se a gente pegar um pouco mais próximo aqui, a gente vai ver que a função já subiu um pouco também. Então, a gente tem este valor um pouco mais alto. Se eu me aproximar ainda mais de "c", quase encostar no "c", então, eu terei aqui um valor para a função um pouco mais alto ainda. E você percebe que conforme a gente vai se aproximando de "c", conforme o "x" vai ficando cada vez mais perto de "c", estes valores aqui da nossa função também vão tender a um certo valor aqui. Eu vou deixar isto aqui mais destacado. Este valor aqui, você pode perceber que eles estão se aproximando aqui deste valor. Vamos fazer agora também pelo outro lado. Se a gente tomar valores agora maiores de "x = c". Então, vamos tomar número de valores para "x" para frente do "c". O que acontece aqui com a função é que para este valor que eu tomei, você vai ver que a função tem um certo valor aqui em cima. Então, a gente tem aqui a função. Se a gente vier aqui, pegar e tentar se aproximar do "c". Então, a gente vai andar para o rumo do "c". Vamos nos aproximando aqui pela direita. Então, você pega este valor agora. O que dá para perceber é que a função se aproximou um pouco mais daquele mesmo valor que a gente tinha quando a gente pegou pela esquerda. Se a gente pegar mais próximo aqui, quase tocando o "c", aí, a gente vai ver isto aqui. Está bem perto. Então, ela se aproximou ainda mais. Então, estes valores aqui, conforme a gente faz o "x" se aproximar do "c" pela direita, a função aqui também está se aproximando daquele mesmo valor que tinha se aproximado quando a gente fez o "x" tender para "c" pela esquerda. Nós vamos chamar este valor de "L", relacionado ao limite. Então, "L" vai ser este número. Vai ser este valor que a gente está vendo que os valores da função estão aproximando quando a gente faz o "x" tender a "c". E matematicamente falando, a gente tem uma maneira para escrever isto. A gente costuma denotar isto aqui como o limite de f(x) quando "x" tende a "c". Isto aqui vai ser igual a "L", que é aquele valor que a gente viu, que os valores da função f(x) estavam ficando cada vez mais próximos, conforme íamos aproximando os valores de "x" aqui de "c". Então, esta é uma ideia simples, construída de uma maneira bem intuitiva do conceito de limite. E já vai te ajudar a progredir bastante, vai te ajudar a começar a tomar os limites você mesmo. Entretanto, vale ressaltar que esta aqui não é uma definição, digamos, rigorosa matematicamente falando, não é? Então, ela serve mais como uma intuição, serve mais como uma orientação para você começar a enxergar o que a gente está fazendo. Mas, nos próximos vídeos, nós vamos trazer uma definição, digamos, matematicamente bem mais rigorosa. O que vai ajudar a gente a fazer várias coisas. Inclusive, a gente a provar que, de fato, quando a gente tem o limite de f(x) para "x" tendendo a "c", isto dá, realmente, "L".