Definição formal de limites (parte 4): uso da definição

RKA3JV - Nós vimos, em vídeos anteriores, o limite de uma função. Neste vídeo, vamos ver o limite de uma função dado por grandezas infinitesimais δ e Ɛ. Temos um limite de f(x) = L, quando "x" tende a "C". Se e somente se, dado um Ɛ maior do que zero, pode-se afirmar que existe um δ maior que zero. Tal que, se o módulo de "x - C" for menor do que δ, implica que o módulo de "f(x) - L" é menor do que Ɛ. Bem, vamos verificar o que significa isso. Nós temos uma função aqui qualquer, y = f(x) = 2x, se "x" for diferente de 5. E "x" se x = 5. Queremos saber o limite de f(x) quando "x" tende a 5, se ele é igual a 10. Então, nós temos "x - C". "C" seria 5. Portanto, nós temos aqui nosso 5 - δ. E aqui, nós temos o nosso 5 + δ. O que nós queremos mostrar aqui, este implica no módulo de "f(x) - L" ser menor do que o Ɛ é que este valor aqui vai levar a "10 - Ɛ". E este valor aqui vai levar a "10 + Ɛ infinitesimal". Que nós podemos tornar tão pequeno quanto quisermos, até que ele chegue no limite onde "x" tende a 5, mas "x" não é igual a 5. Ele pode até não ser definido em x = 5. Então, o que nós queremos é que o módulo de "x - 5" seja menor do que δ, e, obviamente, maior do que zero. E isto implique em dizer que existe um módulo "f(x) - 10" que seja menor do que Ɛ, e, obviamente, maior do que zero. Nunca igual. Ou seja, nunca vai ser igual neste ponto, é o limite, a tendência. Então, um procedimento que podemos fazer é colocar δ em função de Ɛ. Você tem "x - 5", tem que ser menor do que um determinado valor δ. Isto aqui não parece com a nossa função, mas podemos multiplicar por 2 de ambos os lados. Então, fica 2 vezes módulo de "x - 5" é menor do que 2 vezes o módulo de δ. Ora, sabemos que 2 vezes o módulo de alguma coisa, 2 vezes o módulo de "a" é igual ao módulo de 2a. Portanto, aqui, ficamos com o módulo de "2x - 10" é menor do que 2δ. Agora, já temos uma expressão parecida com o que queremos. Nós temos aqui o nosso f(x). Nós temos aqui o nosso limite "L" e podemos fazer para "x" diferente de 5, podemos fazer 2δ = Ɛ. Então, nós podemos dizer que isso daqui é Ɛ. Então, ficamos com o módulo de "f(x) - L" é menor do que Ɛ. E é onde queremos chegar. Então, esta sequência, nós podemos sempre tomar. Então, podemos partir de 5 ± δ a f(x) ± Ɛ. Vamos fazer uma pequena tabela para δ e para Ɛ. Quando δ for 0,25, o nosso Ɛ vai ser 2 vezes, ou seja, 0,5. Para δ igual a 0,05, o nosso Ɛ vai ser 0,1. Ou seja, nós vamos ter para δ = 4,75 vai levar nossa função a 9,5. E para o x = 5,25 vai levar a 10,5. Lembrando que nós podemos diminuir o nosso Ɛ tanto quanto quisermos e nos aproximarmos do limite. E, obviamente, como nós temos que o δ está em função de Ɛ, ao diminuirmos o Ɛ, estamos diminuindo o δ também. Portanto, genericamente, podemos escrever que se nós temos uma função "y" em função de "x", nós temos "x" aqui, nós temos "y", e temos uma função aqui qualquer que não precisa ser definida no ponto onde ela vai ter o limite. Ela pode ter uma definição em ponto qualquer como foi definido na função anterior. Aqui nós temos nosso ponto "C" e aqui nós vamos ter nosso limite "L". O que nós estamos querendo dizer é que antes de "C", nós temos C - δ. Depois de "C", nós temos nosso C + δ. Isto vai implicar em um L - Ɛ e aqui vai implicar em um L + Ɛ. Só que este Ɛ nós podemos diminuir tanto quanto quisermos até se aproximar de "L", mas nunca "x" pode ser igual a "C". Ou seja, nós nunca chegamos neste ponto. Então, genericamente, podemos dizer que o limite de f(x) quando "x" tende a "C" é igual a "L", se e somente se, vamos escrever agora matematicamente. Para todo Ɛ maior do que zero existe um δ maior do que zero. Tal que, o módulo de "x - C" está entre zero e δ. E isto implica que existe um f(x) - L que seja menor do que Ɛ. Portanto, nós diminuímos de um lado o nosso Ɛ tanto quanto quisermos. E, com isso, como nós deixamos o δ em função de Ɛ, nós vamos diminuir o δ tanto quanto quisermos. Mas, nunca o δ vai ser igual a zero, embora ele seja infinitesimal. E assim, nós definimos nosso limite através da diferença de duas grandezas infinitesimais Ɛ e δ.