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Análise de limites infinitos: função racional

Estudamos o comportamento de f(x)=-1/(x-1)² próximo à sua assíntota em x=1.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - E aí pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos analisar limites infinitos em uma função racional. Para isso, nós temos uma função aqui, f(x) = - 1/ (x - 1)², e marque a opção que descreve os limites laterais de "f" em ''x = 1". Nessas opções, nós temos limites de aproximando pela direita e pela esquerda e as respostas variam entre infinitos positivos e infinitos negativos. Bem, existem diferentes maneiras de tratar isso, mas eu vou começar observando os limites laterais. Então aqui, eu vou colocar o limite da função f(x) quando o "x" se aproxima do 1 pela direita e o limite de f(x) quando "x" se aproxima do 1 pela esquerda. O que eu vou fazer aqui é utilizar uma tabela e observar os valores de f(x). Nesta tabela, eu vou colocar os valores que estão se aproximando do 1 pela direita e nesta outra tabela, eu vou colocar os valores que estão se aproximando do 1 pela esquerda. Então, aqui no "x", eu vou testar alguns valores. Vou testar o 1,1, o 1,01, e eu vou pegar estes dois valores e substituir aqui no lugar do "x" para determinar o f(x). E aí, nós vamos ter: -1/(1,1 - 1)², e 1,1 - 1 vai dar a 0,1, e elevado ao quadrado vai ser 0,01. Então, eu posso apagar isto aqui, colocar 0,01, e -1 dividido 0,01 é igual a -100. Testando esse 1,01, nós vamos ter - 1/(1,01 - 1)², e 1,01 - 1 = 0,01, e se elevarmos ao quadrado, isso vai ser igual a 0,0001. -1 dividido por isso aqui vai ser igual a -10.000. Então, -10.000. E aqui, nós conseguimos observar uma coisa importante. Conforme nós estamos nos aproximando de 1 pela direita, a função vai se aproximando do infinito negativo. Portanto, o limite desta função, quando "x" tende a 1 pela direita é igual a menos infinito. Agora, vamos testar o comportamento da função quando o "x" se aproxima de 1 pela esquerda? Eu posso colocar dois valores para o "x" aqui. 0,9 e um valor mais próximo do 1, que é o 0,99. Perceba que 0,9 também vai dar um f(x) = -100. Isso porque, se substituirmos o 0,9 aqui no lugar do "x", nós vamos ter 0,9 - 1, que vai ser igual a - 0,1, e se elevarmos ao quadrado, isso vai dar 0,01. -1/0,01 nós já vimos que é -100, portanto, isto aqui também vai dar -100. Agora, se substituirmos este 0,99 na função, isso significa que estamos ficando mais próximos do 1, mas pelo lado esquerdo, nós vamos ter - 1/(0,99 - 1)². 0,99 - 1 = - 0,01. Deixe-me apagar e colocar isso aqui. Então, -0,01² e -0,01² vai ser igual a 0,0001. Isso porque todo número elevado ao quadrado é positivo. Se você efetuar essa divisão, você também vai ter -10.000. O f(0,99) também é -10.000. Portanto, o limite de f(x) quando "x" tende a 1 pela esquerda também é menos infinito. Ou seja, não importa a direção que você está se aproximando do 1, o limite vai ser igual a menos infinito. E observando as alternativas, podemos ver que esta aqui representa bem isso. Claro, há uma maneira mais rápida de se pensar nisso. É só você observar a estrutura desta expressão aqui. Este 1 é uma constante, por isso, ele sempre vai ser positivo. Por ora, vamos ignorar este sinal negativo aqui. Vamos olhar somente para o denominador. Quando o "x" se torna 1, nós vamos ter (1 - 1)², e 1 menos 1 dá zero, com isso, a função seria indefinida. Mas à medida que nos aproximamos de 1 pela esquerda ou pela direita, x - 1 pode se transformar tem algo positivo ou em algo negativo, que foi o que vimos aqui. Mas observe que aqui temos um quadrado, o que significa que este valor sempre vai ser positivo, ou seja, o denominador vai ser positivo para qualquer 'x" diferente de 1. Com isso, um positivo dividido por um positivo vai dar algo positivo. Mas temos este menos aqui. Ele vai transformar esta expressão em algo negativo para qualquer "x" diferente de 1. Então, você poderia deduzir que nós só podemos ir para o infinito negativo. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!