Revisão do teorema do valor intermediário

O teorema do valor intermediário descreve uma importante propriedade de funções contínuas: para qualquer função $f$f que seja contínua no intervalo $[a, b]$open bracket, a, comma, b, close bracket, a função vai assumir qualquer valor entre $f(a)$f, left parenthesis, a, right parenthesis e $f(b)$f, left parenthesis, b, right parenthesis no intervalo.

Mais formalmente, isso significa que, para qualquer valor $L$L entre $f(a)$f, left parenthesis, a, right parenthesis e $f(b)$f, left parenthesis, b, right parenthesis, existe um valor $c$c em $[a,b]$open bracket, a, comma, b, close bracket para o qual $f(c)=L$f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, L.

Esse teorema faz muito sentido quando se considera o fato de que os gráficos de funções contínuas são desenhados sem levantar o lápis do papel. Se sabemos que o gráfico passa por $(a,f(a))$left parenthesis, a, comma, f, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis e $(b,f(b))$left parenthesis, b, comma, f, left parenthesis, b, right parenthesis, right parenthesis...

... então ele deve passar por qualquer valor de $y$y entre $f(a)$f, left parenthesis, a, right parenthesis e $f(b)$f, left parenthesis, b, right parenthesis.

Considere a função contínua $f$f com a seguinte tabela de valores. Vamos descobrir onde deve haver uma solução para a equação $f(x)=2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2.

Observe que $f(-1)=3$f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 3 e $f(0)=-1$f, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 1. A função deve assumir qualquer valor entre $-1$minus, 1 e $3$3 no intervalo $[-1,0]$open bracket, minus, 1, comma, 0, close bracket.

$2$2 está entre $-1$minus, 1 e $3$3, portanto, deve haver um valor $c$c em $[-1,0]$open bracket, minus, 1, comma, 0, close bracket para o qual $f(c)= 2$f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 2.