Justificativa com o teorema do valor intermediário: tabela

RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um exercício e vamos justificar utilizando o teorema do valor intermediário. Para isso, nós temos o seguinte aqui: A tabela abaixo mostra alguns valores da função contínua "f". Ou seja, esta tabela aqui. Podemos usar o teorema do valor intermediário para dizer que a equação f(x) = 0 tem uma solução em 4 menor ou igual a "x", menor ou igual a 6? Se sim, justifique. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho antes de prosseguirmos juntos. Vamos lá, eu vou colocar um gráfico aqui para visualizarmos melhor o que é o teorema do valor intermediário. Aqui os meus eixos, este o eixo "y" e este o eixo "x", e, na tabela, nós temos alguns pontos. Temos o ponto (0, 0), que está aqui na origem, temos o ponto (2, -2). Então, 0, 1 e 2, aqui o -1 e o -2. Vou aumentar o eixo aqui um pouquinho. O -2 vai estar aqui. -1 e -2. E o ponto que queremos vai estar aqui. Quando o "x" vale 4, o "y" vale 3. Então, 3 e 4. E aqui, 1, 2 e 3. Portanto o ponto (4, 3) vai estar mais ou menos aqui. E, quando "x" vale 6, o "y" vale 7. Então, 5 e 6. Aqui, 4, 5, 6 e 7. O ponto (6, 7) vai estar aqui. E observe que a função é contínua. Uma maneira intuitiva de pensar nisso é que você pode conectar todos os pontos da função sem retirar a caneta do papel. Algo mais ou menos igual eu desenhei aqui. É mais ou menos assim que a função "f" se parece. O teorema do valor intermediário diz: primeiramente, escolha um intervalo. E nós estamos escolhendo este intervalo fechado, e que eu posso colocar no meu gráfico. Então, aqui está o 4, aqui está o 6. O teorema do valor intermediário diz que, se formos contínuos nesse intervalo fechado, a nossa função vai assumir todos os valores nesse intervalo. Ou seja, entre f(4), que é igual a 3, e f(6), que é igual a 7. Então, o teorema do valor intermediário diz que existe algum "x" neste intervalo de modo que f(x) vai ser igual a 5. E eu te pergunto: será que existe algum "x" neste intervalo de modo que f(x) seja igual a 5? Sim, existe algum valor para "x" de modo que f(x) seja igual a 5. Mas o exercício não quer saber "f" de algum valor nesse intervalo, mas sim f(x) = 0. Zero não está entre 7 e 3. Por causa disso, nós não podemos utilizar o teorema do valor intermediário neste caso. Então, vamos justificar isso. Nós podemos dizer que "f" é contínua, mas zero não está entre f(4) e f(6). Portanto, o teorema do valor intermediário não se aplica. Ok, vamos fazer este segundo exercício. Temos o seguinte: podemos usar o teorema do valor intermediário para dizer que existe um valor "c", de modo que f(c) seja igual a zero e que 2 seja menor ou igual a "c" e "c" seja menor ou igual a 4? Se sim, justifique. Bem, nós sabemos que "f" é contínua. Veja bem, toda a função "f" é contínua. E nós podemos pensar em algum número que esteja entre 2 e 4, ou seja, algum número que esteja neste intervalo aqui. Nós sabemos que f(2) = -2, se você consultar a tabela, e f(4) é igual a quanto? Se você observar, f(4) = 3. f(4) = 3. Então, zero está entre f(2) e f(4). Nós podemos ver isso no intervalo. Como a função é contínua, não existe meio de você começar desenhando aqui e chegar até aqui sem passar pelo zero. Ou seja, você não consegue ligar o f(2) ao f(4) sem cruzar o eixo "x" onde a função é igual a zero. Então, pelo teorema do valor intermediário, existe um valor "c", de modo que f(c) seja igual a zero e que 2 seja menor ou igual a "c" e que "c" seja menor ou igual a 4. Basicamente, o que estamos dizendo aqui é: existe um valor "c" entre 2 e 4, como nós temos aqui, de modo que f(c) seja igual a zero. E claro, eu sei que isto está bastante formal. é importante escrever deste jeito. Mas o que tudo isso está dizendo é algo muito intuitivo. Ou seja, se eu pegar a minha caneta, colocar neste ponto e caminhar até este ponto, com toda a certeza vou passar por este ponto "c", de modo que o f(c) seja igual a zero. Eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!