Limites de funções combinadas: função definida por partes

RKA4JL - Calcule estes três limites. Como sempre, sugiro que você pause o vídeo e tente fazer. Vamos começar pelo primeiro: limite de f(x) mais g(x) quando x tende para -2. Podemos calcular cada um dos dois limites para f e para g e depois somar os dois. Mas nós podemos encontrar um pequeno problema aqui. Quando x tende a -2 na função f(x), olhando aqui no gráfico parece que quando vamos nos aproximando de -2 para x pela esquerda a função parece tender a 1, mas se x tende a 1 pela direita, para f(x), parece que o valor da função tende a 3. Então o limite de f(x) quando x tende a -2 não existe e o mesmo acontece para g. Quando x tende a -2 na função g pela direita, o valor da função tende a 1. Mas quando x tende a -2 pela esquerda, a função tende a 3, então o limite de g(x) quando x tende a -2 não existe. Contudo, calculando separadamente os limites pela esquerda e pela direita, podemos chegar a alguma conclusão. O limite com x tendendo ao -2 pela esquerda do f(x) mais g(x) e o limite do f(x) mais g(x) quando x tende a -2 pela direita. Vamos calcular aqui. Olhando para f quando x tende a -2 pela esquerda, f tende a 1 e g(x), quando x tende a -2 pela esquerda, o valor do g tende a 3. Desta forma esse primeiro limite vale 1 mais 3, que é 4. Agora, esse limite quando x tende a -2 pela direita em f nós vemos que quando x se aproxima de -2, f tende a 3 e em g quando x se aproxima -2 pela direita, g tende ao valor 1. Com isso, o limite que nós estávamos procurando de f(x) mais g(x) com x tendendo a -2 existe e vale 4. Agora o outro exemplo. Com x tendendo a 1 vamos fazer a mesma coisa que já fizemos. Olhando para f, quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita temos valores diferentes para os quais f tende. Então esse limite não existe, mas o limite para a soma pode existir, assim como aconteceu no item anterior. Então vamos analisar o limite quando x tende a 1 pela esquerda do f(x) mais g(x). Para f, quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f tende a 2. Agora, na função g, quando x tende a 1 pela esquerda, g tende a zero. Então o limite da soma com x tendendo a 1 pela esquerda vai ser 2. Agora o limite quando x tende a 1 pela direita do f mais g, vamos olhar para f. Quando x tende a 1 pela direita, f tende a -1. Por outro lado g, quando x tende a 1 pela direita, g tende a zero. Então o limite da soma é a soma dos limites e aqui vai dar -1, diferente do anterior, já que o limite pela esquerda e o limite pela direita são diferentes, esse limite do segundo exemplo não existe. O último exemplo: limite com x tendendo a 1 de f(x) vezes g(x). Vamos fazer a mesma coisa e ver os limites laterais. Quando x tende a 1 pela esquerda do f(x) vezes g(x), para f(x) quando x tende a 1 pela esquerda, f tende a 2. Em g, quando x tende a 1 pela esquerda, g tende a zero, e 2 vezes zero é zero. O limite do produto é o produto dos limites. Agora olhando o limite quando x tende a 1 pela direita de f vezes g, para f quando x tende a 1 pela direita, f tende a -1, porém, para g, quando x tende a 1 pela direita, g tende a zero. Agora -1 vezes zero dá zero. Então o limite com x tendendo a 1 pela esquerda e pela direita é igual. Assim, o limite com x tendendo a 1 de f vezes g vale zero. E existe. Estes três foram bons exemplos para você verificar que às vezes o limite de um componente não existe, mas o limite do cálculo todo é possível de ser encontrado. Até o próximo vídeo!