Limites de funções compostas

RKA4JL - Vamos estudar um pouco os limites envolvendo funções compostas. Vamos começar pelo limite de g(h(x)) quando x tende a 3. Sugiro que você pause o vídeo e veja primeiro como fazer sozinho. Pelas propriedades dos limites nós sabemos que isso que temos aqui vai ser a mesma coisa que g do limite de h(x) com x tendendo a 3, então a ideia agora é estudar o limite de h(x) quando x tende a 3 e depois colocar isso na função g. Olhando no gráfico do h(x), quando x tende a 3, vamos verificar. h(3) é indefinido, mas nós podemos pensar no limite quando x tende a 3. Quando x tende a 3 pela esquerda, h tende a 2. Isso fica muito claro pelo fato de a função ser constante ali naquele trecho: quando x vai ficando perto de 3, se x for 2, 2,5, 2,999, o valor do h é sempre 2, então aproximando x do 3, h tende a 2. x tendendo a 3 pela direita para h nos dá h tendendo a 2 pela mesma razão que quando analisamos x tendendo a 3 pela esquerda. Como os limites com x tendendo a 3 pela esquerda e pela direita são iguais e valem 2, então o limite de h(x) com x tendendo a 3 é 2. Agora precisamos procurar o valor de g(2). Para isso temos o gráfico do g(x). Olhando no gráfico, quando x vale 2, g(2) é zero. Pronto! Vamos a outro exemplo. Muito bem, agora temos o limite de h(g(x)) quando x tende a -1 e isso é igual a h do limite com x tendendo a -1 do g(x). Vamos agora obter isso. Precisamos primeiro do limite de g(x) quando x tende a -1. Vamos procurar no gráfico. Observe que em x igual a -1 temos aqui uma descontinuidade, uma assíntota vertical. Observe que quando x tende a -1 pela esquerda, nós temos ilimitadamente o gráfico indo para o valor negativo, cada vez mais negativo, ou seja, para menos infinito e com x tendendo a -1 pela direita nós temos uma situação similar, mas para o valor infinitamente positivo. Então mesmo sem saber quais são os valores dos limites com x tendendo a -1 pela esquerda ou pela direita, nós podemos perceber que eles são diferentes: um tende a menos infinito, o outro tende a mais infinito de maneira que o limite de g(x) quando x tende a -1 não está definido. Então esse limite que estamos procurando não existe. Evidentemente, se o limite com x tendendo ao -1 para g(x) não existe, h é impossível de ser calculado nesse ponto, ou seja, esse limite inteiro não existe. Vamos fazer mais um. Limite do h(f(x)) quando x tende a -3. Isso é a mesma coisa que h do limite f(x) quando x tende a -3. Vamos olhar agora para o gráfico do f(x). Quando x tende a -3 pela esquerda, ou seja, quando ele vai chegando cada vez mais perto de -3, podemos ter certeza que f tende a 1 e aproximando o valor de x do valor -3 pela direita, o valor do f também tende a 1. Então limite do f(x) quando x tende a -3 existe e vale 1. Observe que f não está definido para x igual a -3, mas cada vez que vamos chegando e achando o valor de f quando x vai chegando perto de -3, seja pela esquerda ou pela direita, esse valor de f vai tendendo ao valor 1. Então agora falta calcular h(1). Vamos lá no gráfico do h(x) olhar para quando x vale 1. Percebemos que para x igual a 1, a função h não está definida. Desta forma o limite que precisávamos calcular também não existe. Então veja que nesse caso f não estava definido para x igual a -3, mas o limite com x tendendo a -3 existia. Entretanto, ao colocar esse valor para x no h não pudemos achar o resultado, já que h(x) não é definido para x valendo 1. Até o próximo vídeo!