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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 1
Lição 5: Propriedades dos limites- Propriedades dos limites
- Limites de funções combinadas
- Limites de funções combinadas: função definida por partes
- Limites de funções combinadas: somas e diferenças
- Limites de funções combinadas: produtos e quocientes
- Limites de funções compostas
- Teorema para limites de funções compostas: quando as condições não são satisfeitas
- Limites de funções compostas: o limite interno não existe
- Limites de funções compostas: o limite externo não existe
- Limites de funções compostas
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Limites de funções compostas
Sal resolve alguns exemplos em que são dados os gráficos de duas funções e temos que encontrar o limite de uma função que seja uma composição das duas funções.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Vamos estudar um pouco os
limites envolvendo funções compostas. Vamos começar pelo limite de g(h(x))
quando x tende a 3. Sugiro que você pause o vídeo
e veja primeiro como fazer sozinho. Pelas propriedades dos limites nós sabemos que isso
que temos aqui vai ser a mesma coisa que g do limite de h(x)
com x tendendo a 3, então a ideia agora é estudar o limite
de h(x) quando x tende a 3 e depois colocar isso na função g. Olhando no gráfico do h(x),
quando x tende a 3, vamos verificar. h(3) é indefinido, mas nós podemos pensar no limite
quando x tende a 3. Quando x tende a 3 pela esquerda,
h tende a 2. Isso fica muito claro pelo fato de a função
ser constante ali naquele trecho: quando x vai ficando perto de 3, se x for 2, 2,5,
2,999, o valor do h é sempre 2, então aproximando x do 3,
h tende a 2. x tendendo a 3 pela direita para h
nos dá h tendendo a 2 pela mesma razão que quando analisamos
x tendendo a 3 pela esquerda. Como os limites com x tendendo a 3 pela esquerda
e pela direita são iguais e valem 2, então o limite de h(x)
com x tendendo a 3 é 2. Agora precisamos procurar o valor de g(2). Para isso temos o gráfico do g(x). Olhando no gráfico,
quando x vale 2, g(2) é zero. Pronto! Vamos a outro exemplo. Muito bem, agora temos o limite de h(g(x))
quando x tende a -1 e isso é igual a h do limite
com x tendendo a -1 do g(x). Vamos agora obter isso. Precisamos primeiro do limite de g(x)
quando x tende a -1. Vamos procurar no gráfico. Observe que em x igual a -1 temos aqui uma descontinuidade,
uma assíntota vertical. Observe que quando x tende a -1
pela esquerda, nós temos ilimitadamente o gráfico indo para o valor negativo, cada vez mais negativo, ou seja,
para menos infinito e com x tendendo a -1 pela direita
nós temos uma situação similar, mas para o valor infinitamente positivo. Então mesmo sem saber
quais são os valores dos limites com x tendendo a -1
pela esquerda ou pela direita, nós podemos perceber que eles são diferentes: um tende a menos infinito,
o outro tende a mais infinito de maneira que o limite de g(x)
quando x tende a -1 não está definido. Então esse limite que estamos procurando não existe. Evidentemente, se o limite
com x tendendo ao -1 para g(x) não existe, h é impossível de ser calculado
nesse ponto, ou seja, esse limite inteiro
não existe. Vamos fazer mais um. Limite do h(f(x))
quando x tende a -3. Isso é a mesma coisa
que h do limite f(x) quando x tende a -3. Vamos olhar agora para o gráfico do f(x). Quando x tende a -3 pela esquerda, ou seja, quando ele vai chegando
cada vez mais perto de -3, podemos ter certeza
que f tende a 1 e aproximando o valor de x
do valor -3 pela direita, o valor do f também tende a 1. Então limite do f(x) quando x tende a -3
existe e vale 1. Observe que f não está definido para x igual a -3, mas cada vez que vamos chegando
e achando o valor de f quando x vai chegando perto de -3,
seja pela esquerda ou pela direita, esse valor de f
vai tendendo ao valor 1. Então agora falta calcular h(1). Vamos lá no gráfico do h(x)
olhar para quando x vale 1. Percebemos que para x igual a 1,
a função h não está definida. Desta forma o limite que precisávamos calcular
também não existe. Então veja que nesse caso
f não estava definido para x igual a -3, mas o limite com x tendendo a -3 existia. Entretanto, ao colocar esse valor
para x no h não pudemos achar o resultado, já que h(x) não é definido
para x valendo 1. Até o próximo vídeo!