Estratégia para calcular limites

e em vários vídeos os exercícios nosso cobrimos várias técnicas do cálculo de limites mas é bom pensar em estratégias para determinar qual técnica usar ao calcular limites E é disso que vamos tratar Neste vídeo O que você veio aqui é um diagrama de fluxo criado pela equipe daquela Academy e eu vou essencialmente percorrê-lo Pode parecer um pouco complicado de início mas ele faz muito sentido você vai ver nossa meta é calcular o limite de f de x quando X tende a um valor a e a Primeira ideia é verificar o que acontece se substituímos x por ar na função em questão ou seja calcular FD a e aqui nesta primeira parte Temos que se f de ar é um valor real nós terminamos o cálculo Possivelmente e a razão pela qual eu disse Possivelmente é porque calcular o limite não é necessariamente igual a calcular o valor da função naquele ponto Às vezes acontece é uma coisa e de fato Essa é a definição do limite de uma função contínua mas em outras situações eles não são a mesma coisa por exemplo quando você tem uma função que tem aqui uma descontinuidade de salto ou uma situação em que temos esta descontinuidade nestas situações o limite não é o valor de F de ar mas se os limites a esquerda e a direita tem o mesmo valor ou se estamos falando de uma função contínua é bom ter em mente a ideia de calcular o valor de F de ar para o limite então se você está trabalhando com funções quadráticas como esta ou funções Racionais como esta onde a continuidade funções trigonométricas e você consegue calcular o valor da função naquele ponto obtendo um número real Provavelmente o valor do limite está calculado se você estiver lidando o exemplo com uma função definida por partes definida por várias sentenças como vimos em outros vídeos você deve ser o mais cético a respeito do limite ou se você sabe que em torno daquele. Onde você está calculando o limite Existe algum tipo de salto ou de descontinuidade você precisa ser um pouquinho mais cuidadoso ao calcular o limite mas em geral Esta é uma regra interessante para o cálculo de limite e você está lidando com funções definidas por expressões que deixam claro que são contínuas se você calcula o valor da função quando X variar você calcula o limite dessa função quando X tende a mas vamos ver os outros cenários neste caso provavelmente você esteja lidando com uma assíntota vertical e o que queremos dizer com isso vamos supor uma situação como essa do limite com x tendendo a um de 1 sobre x menos 1 se você tentar calcular o valor dessa expressão quando X vale um você vai ter 1 sobre 1 menos um isso resulta em um sobre 0 percebemos então que estamos caindo neste caso da assíntota vertical e o que queremos Bom dia é o que está acontecendo ali procurando verificar se realmente temos uma assíntota vertical podemos fazer alguns testes com alguns números ou então fazer um gráfico colocando aqui então provavelmente temos uma assíntota vertical em x igual a 1 vamos ver o que acontece esse X é maior do que um então o denominador vai ser positivo e o meu gráfico vai ter algo como isto se eu fosse fazendo um teste com vários valores eu verificaria esta curva e para valores de x menores do que um teríamos o denominador negativo então a função assumir e valores negativos e a curva com este aspecto aqui ao lado esquerdo da cinta de fato temos aqui assíntota vertical mas há casos e casos bem especiais em que não há uma assíntota vertical imagina uma expressão como essa 1 sobre x menos x aqui para qualquer valor de X teremos um sobre 0 ou seja isso aqui fica indefinido mas este é um caso bem especial e às vezes teríamos uma assíntota vertical aqui mas e se não tiver nenhuma das duas situações anteriores e o cálculo o valor da expressão e chego a 0 sobre 0 e aqui estão exemplo disso veja o limite quando X tende a menos um de x ao quadrado menos x menos 2 sobre x ao quadrado menos 2X menos 3 se eu calcular o valor dessa expressão quando X Vale menos um Então vamos lá - 1 ao quadrado é um menos menos um é mais 1 - 2 e aqui o numerador resulta em zero e o denominador - 1 ao quadrado menos dois x - 1 + 2 - 3 e isso resulta em zero também temos 0 sobre 0 temos aqui então uma in determinação e devemos continuar a análise na parte direita do nosso fluxo E aqui nessa parte temos algumas técnicas para atacar situações de limite que envolvem ainda determinação 0 sobre 0 em algumas semanas você vai aprender uma nova técnica para lidar com é e são chamada regra de l'hôpital envolve um pouquinho mais de cálculo Mas agora vamos nos restringir a álgebra que nos permite resolver estas situações sem usar essas técnicas que ainda não conhecemos a primeira coisa que você deve fazer especialmente tratando de uma expressão racional como esta na qual caímos na forma indeterminada do zero sub-zero é tentar faturar numerador e denominador tente verificar se dá para simplificar esta fração algébrica faturando o trinômio do segundo grau do numerador ficamos com x - 2x mais 1 e no denominador x - 3x mais um usamos a técnica da fatoração do trinômio do segundo grau se isso está estranho para você sugiro que você assista aos vídeos sobre este assunto aqui é possível simplificar cancelando o x + 1 com o x + 1 considerando que o x não vale exatamente menos um e ficamos com essa expressão equivalente a x menos 2 sobre x menos 3 partes diferente de menos um isso é um Rigor matemático necessário para podermos dizer que essa expressão mais o valente aquela lá de cima porque não é definida para x = -1 e agora podemos substituir o X pelo valor -1 aqui vamos ficar com -1 -2 no numerador resulta em menos três e no denominador - 1 - 3 resulta -4 e isso é igual a 3 quartos Observe então que esta condição não existia explicitamente mas nossa colocamos para poder usar a simplificação daquela expressão anterior e chegamos numa expressão mais simples na qual podemos usar o valor -1 para o x e calcular o valor da expressão que resulta em três quartos e podemos estar seguros de que o limite procurado é três quartos estas ideias já permitem que você calcule vários limites mas agora vamos as duas técnicas que podemos classificar como um pouquinho mais sofisticadas aqui se caímos na forma indeterminada do 0 sobre 0 envolvendo funções irracionais ou seja aquelas em que a variável Oi gente faz parte do radicando pode ser interessante multiplicar numerador e denominador pelo conjugado da expressão e racional neste exemplo o limite com x tendendo a quatro dessa expressão Se eu colocar o 4 no lugar do X teríamos raiz quadrada de quatro menos 2 sobre 4 - 4 e isso da 0 sobre 0 temos aqui então aí determinação precisamos de alguma outra técnica para tentar achar este limite e a ideia é tentar achar alguma técnica algébrica que nos permita simplificar de alguma forma esta expressão vou reescrevê-la raiz quadrada de x menos 2 sobre x menos 4 e agora vou multiplicar numerador e denominador pelo conjugado da raiz quadrada de x menos 2 que é a raiz quadrada de x + 2 multiplicando numerador e denominador pelo menos o valor não temos a equivalência da fração obtida e isso vai nos dar Observe que no numerador temos um produto notável a menos B vezes a mais bem o que resulta no primeiro ao quadrado menos os bom grado seja a raiz quadrada de x ao quadrado menos 2 ao quadrado que é quatro já simplificando a raiz quadrada de x ao quadrado é simplesmente isso então temos aqui x menos 4 sobre x menos 4 vezes a raiz quadrada de x + 2 Observe que agora podemos cancelar o numerador x menos 4 com o fator x menos 4 do denominador e o que temos aqui é uma expressão equivalente a 1 sobre raiz quadrada de x + 2 e isso válido se x não valer 4 e agora podemos verificar o que acontece com o limite procurado se eu simplesmente substituir o X por quatro nesta nova expressão nós vamos saber aqui valor a função está se aproximando quando X tende a quatro veja que a função não está definida para o fiz igual a quarta mas é possível ver para quê valor tende a função neste caso então um sobre a raiz quadrada de x + 2 fica um sobre a raiz quadrada de quatro mais dois que a 1 sobre 2 mais 2 1 quarto e agora você pode estar seguro de que este vai ser o limite procurado se você fizer o gráfico da função definida por essa expressão você vai ver realmente uma descontinuidade de ponto aqui tem um salto quando X vale quatro mas vai fazer esta manipulação algébrica e simplificar cancelando o x menos 4 esse salto desaparece e é isso que estamos fazendo verificar qual é o limite quando X aproxima-se desta situação do salto e agora a última técnica que temos aqui é utilizar identidades trigonométricas então por exemplo se eu tenho este limite com x tendendo a zero de seno de x sobre seno de 2x se eu substituir X por zero vou ter sendo de 0 que 0 e sendo de 2 x 0 que sendo disser também dá zero vou ter de novo 0 sobre 0 estamos novamente no caso da indeterminação 0/0 Vamos então reescrever essa expressão veja ela é equivalente ao limite com x tendendo a zero de seno de x sobre o seno de 2x eu posso reescrever como a ser um X cosseno x e aqui o seno de x com seno de x podemos cancelar desde que o x não seja zero veja que estamos falando do X tendendo a zero aproximando-se disseram mas não necessariamente x igual a zero ou seja ali no gráfico da função original sendo de x sobre x existe um salto quando X Vale 0 mas aqui estamos tratando do X aproximando-se a zero então ele não vale exatamente zero então nós podemos fazer este cancelamento e olhar para Nova expressão obtida temos então limite quando X tende a zero de 1 sobre 2 cosseno x e estamos de volta nesta condição identificada pela cor verde podemos calcular o valor de 1 sobre 2 cosseno x quando X vale zero você sabe que o cosseno de 0 é o então 1 sobre 2x um meio bem se Nenhuma destas técnicas funcionar muito em breve você terá novas técnicas envolvendo cálculo e que vão permitir que você calcule certos limites mas enquanto você não chega lá depois de todas essas técnicas você a madrinha quer fazer aproximações e aproximação você pode fazer numericamente Tentando valores cada vez mais próximos do número cujo limite você está tentando obter por exemplo se você estiver tentando obter um limite com x tendendo a zero tem que usar x como 0,001 tente menos 0,0000001 valores bem próximos do zero e analisar o que acontece ali mas isto em último caso é o último esforço até o próximo vídeo