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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 1
Lição 7: Limites usando manipulação algébrica- Limites por fatoração
- Limites por fatoração
- Limites por racionalização
- Limites usando conjugados
- Limite de uma função trigonométrica usando a identidade pitagórica
- Limite de uma função trigonométrica usando a identidade do dobro do ângulo
- Limites usando identidades trigonométricas
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Limites por fatoração
Neste vídeo, encontramos o limite de (x²+x-6)/(x-2) em x=2 fatorando e simplificando a expressão.
. Versão original criada por Sal Khan.Quer participar da conversa?
- No momento, Sal estrategicamente converte a expressão matemática da função em outra para viabilizar o cálculo do limite. Eu não entendi bem como ele fez isso... provavelmente não entendi o que ele quis dizer, alguém me ajuda? 1:43(7 votos)
- Ele fez uma fatoração do polinômio, que é um trinômio soma e produto. Dê uma olhada na parte de fatoração aqui no Khan Academy que você vai aprender como fazer, ou basta pesquisar no Google que tu acha vários exemplos.
Uma coisa interessante para se utilizar em limites para facilitar a fatoração de polinômios, principalmente se eles terminarem indefinidos, 0/0, é o dispositivo de Briot-Ruffini, como aquele número que o limite está tendendo está zerando os polinômios então já se tem uma das raízes doa polinômios, o que é o que se precisa para usar o dispositivo de Briot-Ruffini.(14 votos)
Transcrição de vídeo
RKA2G - Vamos dizer que temos uma função
real definida por f(x) = x² + x - 6, sobre x - 2. E queremos ver o que é o limite de f(x)
quando "x" tende a 2. A primeira tentativa que talvez você faça é verificar o que acontece com f(2),
ou seja, quando "x" vale 2. Isso nem sempre vai ser o limite, mesmo
que a função esteja definida nesse ponto, mas é um bom jeito de começar. Se fizermos x = 2, vamos ter f(2),
no numerador, igual a: 2² = 4, mais 2, menos 6. O numerador seria zero. E o denominador: 2 - 2 = 0. Ou seja, esta função não é definida para x = 2. Se a função fosse definida para x = 2
sendo uma função contínua, de fato, o limite seria o valor da função
neste ponto. Mas acabamos de ver que neste
não é o caso. Vemos claramente que a função
não é definida para x = 2. Vamos ver se podemos simplificar
um pouco isto. Uma coisa que pode ter chamado
imediatamente a sua atenção no numerador é o fato que ela pode ser fatorada. E, voltando um pouquinho
aos conceitos da álgebra, isto é um trinômio do segundo grau e pode
ser fatorado se encontrarmos dois números cujo produto seja -6 e cuja soma seja +1. Com um pouco de tentativa, verificamos
que esses números são 3 e -2. Ou seja, a forma fatorada deste trinômio é:
(x + 3) vezes (x - 2), e tudo isso sobre (x - 2). Considerando que o "x" não vá ser 2, estes fatores (x - 2) se cancelam. E, efetuando o cancelamento, teremos
que isso tudo vai ser igual a x + 3. Isso vale para qualquer valor de "x",
exceto x = 2. Reescrevendo a função, temos f(x) = x + 3,
desde que "x" seja diferente de 2 e f(x) é indefinida caso x = 2. Com esta definição,
temos mais clareza sobre f(x) e, para fazer um gráfico que a represente,
fica muito mais fácil. Vou colocar aqui os eixos do plano cartesiano. O eixo vertical y = f(x) e, aqui, o eixo das abcissas, o eixo
horizontal, que vamos indicar por "x". Estamos querendo representar
graficamente a função "f". Vou localizar aqui alguns valores: 1, 2, 3, aqui no eixo "y". Temos uma intersecção no eixo "y" em 3 e o coeficiente angular é 1. Ou seja, cada unidade
que variamos para o "x", variamos igualmente uma unidade para o "y". E isso é definido para todos os valores
de "x", exceto quanto "x" vale 2. Quando x = 2, temos uma indefinição.
Vou indicar aqui, com a bolinha vazia, que não pertence
ao domínio da função. Fazendo aqui com um pouco de cuidado, temos o gráfico que representa
a função y = f(x), que é uma reta, mas não está definida no ponto x = 2. Agora que temos uma representação da função e podemos analisá-la um pouco
mais calmamente, voltemos à pergunta: qual é o limite, quando "x" tenda a 2, para f(x)? Podemos olhar desta vez graficamente. Quando "x" se aproxima de 2 a partir
de valores menores do que 2, ou seja, digamos que "x" tende a 2 pela esquerda, aqui é x = 2 e, quando "x" vai se aproximando pela
esquerda, digamos que aqui seja 1,7, o f(x) está bem ali. Se x = 1,9, f(x) está bem ali. Isso parece nos indicar que o limite
está se aproximando deste valor aqui. Do mesmo modo, se aproximamos o "x" de 2
vindo de valores maiores do que 2, ou seja, estamos olhando "x" tendendo a 2 pela direita, vamos supor aqui um valor maior que 2,
digamos 2,5, o valor do f(x) está bem ali. Se chegamos a um valor mais perto de 2,
o valor do f(x) estaria bem ali. E mais uma vez, parece que estamos
nos aproximando deste valor aqui. Em outras palavras, se vamos nos
aproximando deste ponto a partir de valores de "x" maiores do que 2, parece que estamos nos aproximando
deste valor para f(x). Por outro lado, se nos aproximarmos
deste ponto pelo gráfico vindo de valores de "x"
menores do que 2, também tendemos a um f(x)
com aquele valor. E este valor sobre o qual estamos falando é exatamente o valor do f(x) se "x" fosse 2. Como, simplificado, f(x) = x + 3,
se o "x" pudesse ser 2, 2 + 3 = 5, ou seja, estamos falando aqui que, quanto mais nos aproximamos
de 2 para o valor de "x", o f(x) mais se aproxima do valor 5. Estamos olhando aqui para a equação da reta que apareceu para representar a função f(x) com coeficiente angular 1
e intersecção em "y" no 3 e podemos deduzir que, quando "x"
se aproxima de 2, f(x) se aproxima de 5. Podemos ter uma ideia sobre isso também
numericamente. Eu vou pegar a calculadora. Vou pegar esta expressão, que define a função. Esta expressão é equivalente à expressão
que define originalmente a função, desde que "x" não seja 2. Se eu tentar um valor de "x" muito
próximo de 2, como 1,999999, mais 3, vamos ter um resultado, evidentemente,
muito perto de 5, que dá 4,99999. Muito próximo de 5, portanto. Poderia colocar mais noves aqui,
chegando mais próximo de 2, e chegaríamos, para o f(x),
ainda mais próximo de 5. Se nos aproximamos a 2 para valores
de "x" um pouco maiores do que 2, por exemplo 2,00001, mais 3, que é como definimos a função, vamos ter um valor também
muito próximo de 5. Estamos chegando bem próximos de 5,
como já esperado. Ou seja, numericamente ou graficamente,
verificamos que, quando "x" tende a 2, f(x) tende a 5. Então, o limite de f(x), quando "x"
tende a 2, é 5. Até o próximo vídeo!