Limites por racionalização

RKA14C Neste vídeo, nós vamos ver se podemos encontrar o limite quando x tende a -1 de x + 1 sobre √x+5 - 2. A sua primeira reação ao olhar para essa função é dizer o seguinte: "Olha nós podemos utilizar as propriedades do limite," "assim, vamos conseguir encontrar esse limite". Então, isto aqui vai ser igual a: lim x → -1 de x + 1 sobre lim x → -1 de √x+5 - 2. Ok, agora podemos simplesmente calcular o limite aqui em cima e aqui embaixo, substituindo esta coisa aqui. Se pensarmos a respeito do gráfico de x + 1, veremos que ela é contínua em todo o domínio, especialmente em x = -1. Dessa forma, nós podemos avaliar esse limite. Avaliando esta expressão, x = -1, teremos aqui no numerador algo igual a -1 + 1. No denominador, nós teremos aqui: √x+5 - 2, que não é contínua em todos os lugares, mas é contínua em x = -1. Assim, também podemos fazer a mesma coisa e calcular o limite. Substituindo esse x por -1, nós vamos ter: √-1+5 - 2. Agora, isso vai ser igual ao quê? Bem, no numerador, nós temos um zero. E, no denominador, temos -1 + 5 = 4... √4 = 2. 2 - 2 = 0. Assim, o que temos aqui é um 0/0. Agora que você viu isso, provavelmente deve ter tentado desistir, não é? Afinal, você vai dizer: "Caramba, temos um zero no denominador, talvez esse limite não exista..." "Agora, o que eu faço aqui?". Bem, se o numerador fosse diferente de zero, nós teríamos um valor diferente de zero sendo dividido por zero, que é algo indefinido. Assim, o limite não existiria. Mas, quando você tem algo que seja igual a 0/0, isso é uma forma indeterminada. Isso não significa necessariamente que o seu limite não existe. Como veremos neste vídeo e em muitos outros, existem algumas ferramentas à nossa disposição para resolver isso. Hoje nós vamos ver uma dessas ferramentas. A ferramenta que nós vamos ver aqui é que existe uma outra maneira de reescrever essa expressão para que possamos avaliar o seu limite, sem obter algo sendo igual a 0/0. Então, vamos apenas reescrever isso. Para isso, vou chamar esta expressão aqui de g(x). Basicamente, o que vamos fazer é tentar encontrar o lim g(x) quando x → -1. Assim, podemos escrever a função de g(x), que vai ser igual a x + 1... Detalhe, a única razão pela qual eu estou definindo isso como g(x) é apenas para ser capaz de pensar mais claramente nessa função, em como podemos manipulá-la, e depois pensar em funções parecidas. Então, teremos aqui: g(x) = x + 1 sobre √x+5 - 2. Agora, olha bem. Observe bem: a técnica que eu vou utilizar aqui, você pode sempre utilizar quando tiver uma indeterminação 0/0 e tiver uma raiz quadrada aqui no numerador ou no denominador. Essa técnica vai nos ajudar a nos livrar dessa raiz quadrada. Inclusive, isso é muitas vezes chamado de racionalização da expressão. Mas, neste caso, temos uma raiz quadrada no denominador, certo? Por isso, nós vamos racionalizar o denominador. Como podemos fazer isso? Bem, para fazer isso, vamos ter que lembrar das propriedades da diferença de quadrados. Nós sabemos que, se temos (a + b) vezes (a - b), isso vai ser igual a a² - b². Eu sei que você já aprendeu isso em álgebra há pouco tempo. Agora, se tivéssemos aqui (√a+b) vezes (√a-b), isso seria a mesma coisa, só que vamos ter a raiz quadrada de um quadrado. Nesse caso, nós vamos ter (a - b)². Podemos nos aproveitar dessa ideia para nos livrar desse radical aqui no denominador. Para fazer isso, basta multiplicar o numerador e o denominador por √x+5 + 2. Como nós temos -2 aqui, aqui vamos multiplicar por essa raiz +2. Bem, e por que nós multiplicamos o numerador e o denominador? Para não mudarmos o valor da expressão, já que este valor dividido por este outro vai ser igual a 1. Agora vamos usar essa propriedade que usamos aqui. Vamos ter o quadrado de √x+5, que vai ser igual a x + 5 menos o quadrado de 2, que é igual a 4. Assim, temos x + 5 - 4 = x + 1. Então, posso apagar isto aqui e colocar no denominador apenas o resultado. Ou seja, x + 1. Provavelmente você vai ver que, logo de cara, tanto no numerador quanto no denominador, nós temos aqui um x + 1, certo? Talvez possamos simplificar essa expressão. Assim, simplificando e cortando esse x + 1 do numerador com o x +1 no denominador, teremos: g(x) = √x+5 + 2. Agora, com certeza, os seus sentidos se ativaram, e você está vendo que tem alguma coisa estranha aqui, não é? É isso que eu vou te perguntar: essa expressão aqui é a mesma coisa que a expressão que a gente tinha anteriormente? Aquela que a gente usou ali em cima... ? Bem, a maneira como coloquei aqui não é exatamente a mesma coisa daquela outra. Na verdade, é exatamente a mesma coisa em todos os lugares, exceto no x = -1. Então, esta expressão aqui está definida em todos os x, exceto quando x = -1. Ou seja, g(x) não vai ser igual a essa outra função para o x = -1. Então, para tomarmos essa expressão como sendo exatamente a mesma expressão, temos que dizer que ela vai ser igual a g(x) para todo x ≠ -1. Agora, sim, nós temos uma versão simplificada de g(x). Esse é exatamente o mesmo domínio dessa expressão aqui em cima agora que nós colocamos essa restrição com x = -1. Agora você vai dizer: "Como isso me ajuda?". Porque nós queremos encontrar o limite quando x → -1, e aqui eu tive que colocar essa pequena restrição. Ou seja, que o x não pode ser igual a -1. Bem, então vamos pegar uma outra função aqui. Uma função f(x) = √x+5 + 2. Nós sabemos que f(x) vai ser igual a g(x) para todos os valores de x ≠ -1. Temos que colocar isso, porque f(x) não tem essa restrição. Em seguida, nós podemos tomar o lim f(x) quando x → -1, e isso vai ser igual ao lim g(x) quando x → -1, O que é, claro, o que estamos querendo descobrir neste vídeo, e não conseguimos na forma como estava. Mas agora nós podemos usar o f(x), porque, afinal de contas, eles são idênticos, exceto nesse ponto x = -1. Inclusive, isso a gente consegue até ver graficamente. Traçando o gráfico g(x), ele vai ter uma descontinuidade em um certo ponto, uma descontinuidade em um ponto bem aqui, em que x = -1. Bem, o que vai ser o limite, então? Qual vai ser o limite de f(x)? Bem, podemos fazer isso agora. O limite da √x+5 + 2 quando x → -1 vai ser igual... Essa função f(x) vai ser contínua em x = -1. Então, para que possamos avaliar, basta simplesmente substituir -1 aqui no lugar do x, e, assim, calcular esse limite. Vamos ter: -1 + 5 = 4... √4 = 2. 2 + 2 = 4. Então, o limite de f(x) quando x → -1 vai ser igual a 4. O que, diga-se de passagem, vai ser igual ao limite de g(x) quando x → -1. Então, quando x → -1, nós vamos ter este pequeno salto aqui. Se isso não faz muito sentido para você, observe e tente visualizar isto aqui. Pense nisso visualmente, isto aqui sendo meu eixo y, e isto sendo o meu eixo x. O g(x) tem esta aparência aqui, vai ter uma aparência muito próxima disso. Eu tenho uma lacuna aqui no -1. Por outro lado, o f(x) teria o mesmo gráfico, exceto pelo fato de que ele não teria essa lacuna. Assim, se você está tentando encontrar o limite, me parece bem razoável que a gente possa utilizar o f(x), e buscar o valor em f(x) que vai preencher essa lacuna. Esse valor de x = -1 tem a função sendo igual a 4 que a gente calculou. Por esse motivo, a gente utiliza a função f(x) para avaliar este ponto, que está preenchendo essa lacuna, porque, assim, a gente consegue encontrar o valor da função, ou seja, o limite para f(x) com x → -1. Bem, espero que esse gráfico tenha te ajudado um pouco.