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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 1
Lição 7: Limites usando manipulação algébrica- Limites por fatoração
- Limites por fatoração
- Limites por racionalização
- Limites usando conjugados
- Limite de uma função trigonométrica usando a identidade pitagórica
- Limite de uma função trigonométrica usando a identidade do dobro do ângulo
- Limites usando identidades trigonométricas
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Limites por racionalização
Neste vídeo, encontramos os limites de (x+1)/(√(x+5)-2) para x=-1 "racionalizando o denominador" da expressão.
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- em, não entendi o pq da restrição do x ter q ser diferente de -1. De onde o -1 foi tirado? 6:10
inI don't understand why x has to be different from -1. Where did the number -1 come from specifically? 6:10(1 voto)- A função original (do limite) não estava definida nesse ponto. Ao transformá-la na g(x) elas são idênticas, exceto pelo ponto x=-1, que esta (g(x)) está definida (g(-1)=4) enquanto a função original não estava.(2 votos)
- Não tem vídeo para esta aula?(1 voto)
- is (√(x+5)+2) defined for x < -5 ?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA14C Neste vídeo, nós vamos ver
se podemos encontrar o limite quando x tende a -1
de x + 1 sobre √x+5 - 2. A sua primeira reação
ao olhar para essa função é dizer o seguinte: "Olha nós podemos
utilizar as propriedades do limite," "assim, vamos conseguir
encontrar esse limite". Então, isto aqui
vai ser igual a: lim x → -1 de x + 1 sobre lim x → -1
de √x+5 - 2. Ok, agora podemos simplesmente calcular o limite aqui em cima
e aqui embaixo, substituindo esta coisa aqui. Se pensarmos a respeito
do gráfico de x + 1, veremos que ela é contínua
em todo o domínio, especialmente em x = -1. Dessa forma, nós podemos
avaliar esse limite. Avaliando esta expressão,
x = -1, teremos aqui no numerador
algo igual a -1 + 1. No denominador,
nós teremos aqui: √x+5 - 2, que não é contínua
em todos os lugares, mas é contínua em x = -1. Assim, também podemos fazer
a mesma coisa e calcular o limite. Substituindo esse x por -1,
nós vamos ter: √-1+5 - 2. Agora, isso vai ser igual ao quê? Bem, no numerador,
nós temos um zero. E, no denominador,
temos -1 + 5 = 4... √4 = 2. 2 - 2 = 0. Assim, o que temos aqui
é um 0/0. Agora que você viu isso, provavelmente deve ter
tentado desistir, não é? Afinal, você vai dizer: "Caramba, temos um zero no denominador,
talvez esse limite não exista..." "Agora, o que eu faço aqui?". Bem, se o numerador
fosse diferente de zero, nós teríamos um valor diferente
de zero sendo dividido por zero, que é algo indefinido.
Assim, o limite não existiria. Mas, quando você tem algo
que seja igual a 0/0, isso é uma forma indeterminada. Isso não significa necessariamente
que o seu limite não existe. Como veremos neste vídeo
e em muitos outros, existem algumas ferramentas
à nossa disposição para resolver isso. Hoje nós vamos ver
uma dessas ferramentas. A ferramenta que nós vamos ver aqui
é que existe uma outra maneira de reescrever essa expressão para que possamos avaliar o seu limite,
sem obter algo sendo igual a 0/0. Então, vamos apenas reescrever isso. Para isso, vou chamar
esta expressão aqui de g(x). Basicamente, o que vamos fazer
é tentar encontrar o lim g(x) quando x → -1. Assim, podemos escrever
a função de g(x), que vai ser igual a x + 1... Detalhe, a única razão pela qual
eu estou definindo isso como g(x) é apenas
para ser capaz de pensar mais claramente nessa função, em como podemos manipulá-la, e depois pensar em funções parecidas. Então, teremos aqui: g(x) = x + 1 sobre √x+5 - 2. Agora, olha bem. Observe bem: a técnica
que eu vou utilizar aqui, você pode sempre utilizar quando
tiver uma indeterminação 0/0 e tiver uma raiz quadrada aqui
no numerador ou no denominador. Essa técnica vai nos ajudar a
nos livrar dessa raiz quadrada. Inclusive, isso é muitas vezes chamado
de racionalização da expressão. Mas, neste caso, temos uma
raiz quadrada no denominador, certo? Por isso, nós vamos
racionalizar o denominador. Como podemos fazer isso? Bem, para fazer isso,
vamos ter que lembrar das propriedades da
diferença de quadrados. Nós sabemos que,
se temos (a + b) vezes (a - b), isso vai ser igual a
a² - b². Eu sei que você já aprendeu isso
em álgebra há pouco tempo. Agora, se tivéssemos aqui (√a+b) vezes (√a-b), isso seria a mesma coisa, só que vamos ter a raiz quadrada
de um quadrado. Nesse caso, nós vamos ter (a - b)². Podemos nos aproveitar dessa ideia para nos livrar desse radical
aqui no denominador. Para fazer isso, basta multiplicar
o numerador e o denominador por √x+5 + 2. Como nós temos -2 aqui, aqui vamos multiplicar
por essa raiz +2. Bem, e por que nós multiplicamos
o numerador e o denominador? Para não mudarmos o valor da expressão, já que este valor dividido
por este outro vai ser igual a 1. Agora vamos usar essa propriedade
que usamos aqui. Vamos ter o quadrado de √x+5, que vai ser igual a x + 5
menos o quadrado de 2, que é igual a 4. Assim, temos x + 5 - 4 = x + 1. Então, posso apagar isto aqui e colocar no denominador
apenas o resultado. Ou seja, x + 1. Provavelmente você vai ver
que, logo de cara, tanto no numerador
quanto no denominador, nós temos aqui um x + 1, certo? Talvez possamos simplificar
essa expressão. Assim, simplificando e cortando
esse x + 1 do numerador com o x +1 no denominador, teremos: g(x) = √x+5 + 2. Agora, com certeza,
os seus sentidos se ativaram, e você está vendo que tem
alguma coisa estranha aqui, não é? É isso que eu vou te perguntar: essa expressão aqui é
a mesma coisa que a expressão que a gente tinha anteriormente? Aquela que a gente usou ali em cima... ? Bem, a maneira como coloquei aqui não é exatamente
a mesma coisa daquela outra. Na verdade, é exatamente
a mesma coisa em todos os lugares, exceto no x = -1. Então, esta expressão aqui
está definida em todos os x, exceto quando x = -1. Ou seja, g(x) não vai ser
igual a essa outra função para o x = -1. Então, para tomarmos essa expressão como sendo exatamente
a mesma expressão, temos que dizer que
ela vai ser igual a g(x) para todo x ≠ -1. Agora, sim, nós temos uma
versão simplificada de g(x). Esse é exatamente
o mesmo domínio dessa expressão aqui em cima agora que nós colocamos
essa restrição com x = -1. Agora você vai dizer:
"Como isso me ajuda?". Porque nós queremos encontrar
o limite quando x → -1, e aqui eu tive que colocar
essa pequena restrição. Ou seja, que o x não pode ser igual a -1. Bem, então vamos pegar
uma outra função aqui. Uma função f(x) = √x+5 + 2. Nós sabemos que f(x)
vai ser igual a g(x) para todos os valores de x ≠ -1. Temos que colocar isso,
porque f(x) não tem essa restrição. Em seguida, nós podemos tomar
o lim f(x) quando x → -1, e isso vai ser igual
ao lim g(x) quando x → -1, O que é, claro, o que estamos
querendo descobrir neste vídeo, e não conseguimos
na forma como estava. Mas agora nós podemos usar o f(x), porque, afinal de contas,
eles são idênticos, exceto nesse ponto x = -1. Inclusive, isso a gente consegue
até ver graficamente. Traçando o gráfico g(x), ele vai ter uma descontinuidade
em um certo ponto, uma descontinuidade em um ponto
bem aqui, em que x = -1. Bem, o que vai ser o limite, então? Qual vai ser o limite de f(x)? Bem, podemos fazer isso agora. O limite da √x+5 + 2 quando x → -1 vai ser igual... Essa função f(x) vai ser
contínua em x = -1. Então, para que possamos avaliar, basta simplesmente substituir
-1 aqui no lugar do x, e, assim, calcular esse limite. Vamos ter: -1 + 5 = 4... √4 = 2. 2 + 2 = 4. Então, o limite de f(x) quando x → -1
vai ser igual a 4. O que, diga-se de passagem, vai ser igual ao limite
de g(x) quando x → -1. Então, quando x → -1, nós vamos ter este
pequeno salto aqui. Se isso não faz muito sentido para você, observe e tente visualizar isto aqui. Pense nisso visualmente, isto aqui sendo meu eixo y, e isto sendo o meu eixo x. O g(x) tem esta aparência aqui, vai ter uma aparência
muito próxima disso. Eu tenho uma lacuna aqui no -1. Por outro lado,
o f(x) teria o mesmo gráfico, exceto pelo fato de que
ele não teria essa lacuna. Assim, se você está tentando
encontrar o limite, me parece bem razoável que
a gente possa utilizar o f(x), e buscar o valor em f(x) que
vai preencher essa lacuna. Esse valor de x = -1 tem a função sendo igual a 4
que a gente calculou. Por esse motivo,
a gente utiliza a função f(x) para avaliar este ponto,
que está preenchendo essa lacuna, porque, assim, a gente consegue
encontrar o valor da função, ou seja, o limite para f(x) com x → -1. Bem, espero que esse gráfico
tenha te ajudado um pouco.