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Limites no infinito de funções racionais (Parte 1)

Neste vídeo, determinamos os limites de (4x⁵-3x²+3)/(6x⁵-100x²-10) nos infinitos positivo e negativo. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Nós temos aqui f(x) = 4x⁵ - 3x² + 3, tudo isso sobre 6x⁵ - 100x² - 10. A pergunta é qual é o limite de f(x) quando "x" tende a infinito? Há muitas formas de responder isto. Uma delas seria você colocar valores cada vez maiores no lugar de "x" e verificar se no resultado para a função isso se aproxima de algum valor. Ou, então, você pode raciocinar a respeito disto. Ou seja, analisar o comportamento deste numerador e deste denominador quando "x" vai se tornando um número cada vez maior, muito, muito grande. Vamos analisar primeiro o numerador. O que nós podemos dizer é que quando o "x" vai ficando cada vez maior, muito grande, este termo 4x⁵ vai ficando, tendo um resultado muito maior. Significativamente maior que qualquer um dos outros termos desta expressão do numerador. Alguma coisa elevada ao quadrado, quando é grande, fica muito grande, mas elevado a quinta fica muito maior. x⁵ cresce a uma taxa muito maior do que x². Da mesma forma, no denominador também é um polinômio, o termo de maior grau cresce de maneira muito mais rápida que todo o resto da expressão. Mesmo que este termo do meio esteja multiplicado por -100, o x⁵ vai crescer muito mais rápido do que x². Desta maneira, podemos concluir que quando "x" fica muito grande, toda esta expressão se aproxima a 4x⁵/ 6x⁵. Isto valendo, portanto, para valores muito grandes de "x". O que significa dizer quando "x" tende a infinito. Podemos, então, simplificar esta expressão. Você tem aqui x⁵ / x⁵, e eles vão crescer juntos. Eles podem, portanto, se cancelar. Lembrando, evidentemente, também que o "x" não é zero. Já que estamos imaginando o "x" tendendo a infinito. Simplificando tudo temos, então, 2/3. Ou seja, o limite desta função quando "x" tende a infinito é 2/3. Então, naquela expressão do f(x) quando "x" vai ficando muito grande, só os termos de maior grau é que têm importância no numerador e no denominador. Então, o resto do numerador e o resto do denominador não influenciam no resultado que vamos obter. De maneira que este limite se aproxima de 2/3. Vamos olhar para o gráfico e ver se isso realmente faz sentido. O que eu estou dizendo é que deve existir uma assíntota horizontal em y = 2/3. Aqui está o gráfico feito com o Wolfram Alpha. O que podemos observar no gráfico é que quando "x" vai ficando cada vez maior, o resultado do f(x) tende a um certo valor aqui que, de fato, parece estar ao redor de 2/3. Teremos aqui uma assíntota horizontal. E nesta assíntota temos y = 2/3. Ou seja, quando "x" vai ficando cada vez maior, tendendo a infinito, o "y" ou o f(x) vai chegando cada vez mais perto de 2/3. Aproveitando o gráfico, podemos ver que, aparentemente pelo menos, acontece a mesma coisa deste lado aqui. Aparentemente, quando "x" tende a menos infinito, o limite do f(x) vai para 2/3 também. Isso significa que quando "x" vai ficando cada vez mais negativo, ou seja, quando nós vamos indo para a esquerda no eixo "x", os únicos termos que vão importar são aqueles de maior grau no numerador e no denominador. E a mesma simplificação acontece conforme nós vimos antes. Ou seja, o limite vai para 2/3. Então, este limite de f(x) sendo 2/3 vale quando "x" tende a mais infinito e também vale quando "x" tende a menos infinito para esta função. E este limite de f(x) quando "x" tende a menos infinito, portanto, será 2/3. E você, visivelmente, nota aqui no gráfico. E, de fato, o gráfico comprova que o limite de f(x) quando "x" tende a infinito é 2/3. E quando "x" tende a menos infinito, também é 2/3. Então, quando você tem situações envolvendo expressões polinomiais, para o limite no infinito, você pode verificar qual termo se sobrepõe aos demais e raciocinar sobre isso. Até o próximo vídeo!