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Limite no infinito de uma diferença de funções

Neste vídeo, determinamos o limite no infinito de √(100+x)-√(x). Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Vamos pensar um pouco no limite de raiz quadrada de (100 mais x) menos raiz quadrada de x quando x tende ao infinito. Mas antes de começar, pause o vídeo agora e veja se você consegue resolver isso sozinho. Muito bem, assumindo que você já fez isso, vamos lá. Dê uma olhada dentro desse radical. A gente tem o número 100. E o 100 é um número razoavelmente grande. Entretanto, como a gente vai fazer x tender a infinito, estamos fazendo x tender a números muito, muito exagerados, números realmente muito grandes. Estamos falando aqui de milhão, bilhão, trilhão, o que faz o 100 ser um número praticamente insignificante, é um número que não vai mudar muita coisa. Então vamos escrever isso. Para um x realmente grande, se a gente tem um x assumindo valores enormes, então para x realmente grande, o que vai acontecer? A gente vai ter que a raiz quadrada de (100 mais x), como x é um número muito grande, o 100 não vai alterar muito dentro desse radical. Isso aqui vai ser aproximadamente igual à raiz quadrada do próprio x, ou, seja x é tão grande que acrescentar 100 nele vai mudar muito pouco em relação ao resultado da raiz quadrada. Voltando aqui, como a gente quer calcular o limite de raiz quadrada de (100 mais x) menos raiz de x, como esses dois aqui são praticamente iguais, que é o que a gente acabou de escrever, que eles são muito próximos um do outro quando x tende ao infinito, então é razoável a gente pensar que esse limite, quando a gente fizer x tender a infinito, isso aqui vai tender a zero. Mas vamos trabalhar essa expressão aqui algebricamente agora para a gente se convencer disso e ter certeza de que essa intuição que a gente teve realmente está no caminho certo. Então vamos reescrever essa expressão para ver se a gente consegue, colocando em uma forma mais adequada, que fique mais interessante analisar o limite de quando x vai para o infinito. Então vamos fazer aqui a raiz quadrada de (100 mais x) menos a raiz quadrada de x. É isso o que a gente vai tentar escrever de outra forma, de uma forma equivalente para isso. O que você pode olhar aqui quando tem soma ou subtração de raízes, uma primeira ideia que pode vir, é que você saia multiplicando isso, digamos, pelo conjugado dessa expressão com o objetivo de tentar eliminar essas raízes. Entretanto a gente não pode sair multiplicando por qualquer coisa, senão a gente altera a expressão. A gente tem que tentar escrevê-la de outra forma, mas que continue sendo ela na essência, não pode mudar a expressão. Então a gente vai multiplicar por 1. Se a gente multiplica uma coisa por 1, não se altera o resultado. Então para multiplicar por 1 vou fazer o seguinte, vou multiplicar por raiz quadrada de (100 mais x), que é aquele primeiro termo que a gente tinha aqui, e agora a gente vai multiplicar por (mais raiz quadrada de x). Então vou multiplicar, digamos, como se fosse o conjugado daquela expressão ali. Então estou multiplicando por isso, o mesmo carinha, só que em vez de negativo, a gente vai colocar positivo, então vamos somar esses dois termos. Como a gente não quer mudar o resultado, a gente vai multiplicar por essa expressão e também vai dividir por essa expressão. Então vou dividir por raiz quadrada de (100 mais x) mais a raiz quadrada de x. Portanto o que eu estou fazendo aqui é pegar essa expressão e multiplicar por 1. Se eu dividir, esses dois são iguais e isso aqui dá 1. Multiplicando por 1 a gente está reescrevendo a nossa expressão sem alterar o resultado. Então isso aqui eu posso escrever que vai dar igual... Vamos multiplicar aqui, aqui não tem nada em baixo como se fosse 1, então no denominador dessa nossa fração a gente vai ter raiz quadrada de (100 mais x) mais raiz de x. Isso é o que a gente vai ter na parte de baixo. Em cima nós vamos ficar com esse pedaço (deixe-me escrever nessa cor), vamos ficar com raiz quadrada de (100 mais x), que é esse primeiro pedaço aqui, menos raiz quadrada de x e isso nós estamos multiplicando por esse pedaço aqui de cima, que é a raiz quadrada de (100 mais x) mais raiz quadrada de x. Então aqui em cima da fração, dessa expressão aqui, a gente vai ter esses dois caras multiplicando aqui em baixo, e ficou esse denominador. Dê uma olhada nesta parte de cima. Se você olhar aqui, nesse pedaço aqui, agora, neste pedaço, o que a gente tem? Dê uma olhada: a gente tem esse cara aqui, que é o mesmo que está aparecendo aqui, e aqui a gente também tem que este cara é o mesmo que está aparecendo aqui. Então o que a gente tem aqui é esse cara menos esse vezes o mesmo carinha ali mais aquele, então a gente tem a soma de dois termos vezes a diferença entre esses dois termos. A gente sabe, então, que se temos a multiplicação da soma pela diferença, isso aqui vai dar a diferença dos quadrados desses dois carinhas. Então, no final das contas, a gente vai ter como resultado o quadrado desse primeiro, que é positivo nos dois, menos o quadrado desse aqui que aparece positivo aqui e negativo ali. A gente pode escrever esse resultado assim: isso tudo vai ser igual (vamos colocar aqui o igual) então na parte de baixo nós vamos ter a mesma coisa, raiz quadrada de (100 mais x) mais raiz quadrada de x, isso não vai mudar, agora em cima vai ficar o seguinte: vai ficar o quadrado desse cara aqui em roxo, que é o quadrado de raiz quadrada de (100 mais x), que vai dar o próprio (100 mais x). Agora, menos... isso aqui vai ficar menos o quadrado desse outro carinha aqui, então vai ficar o quadrado desse menos o quadrado desse, então menos o quadrado de raiz quadrada de x. A raiz quadrada com o quadrado cancela e isso vai dar o próprio x. O interessante é que vai acontecer isso aqui: como a gente vai ter +x em cima com -x, isso aqui vai embora. Portanto eu posso escrever esse resultado como sendo o seguinte: isso aqui para a gente vai ser 100 dividido por raiz quadrada de (100 mais x) mais raiz quadrada de x. Então a gente pode dizer que essa expressãozinha que a gente tinha aqui, quando a gente a multiplica por 1, que é dado por essa forma aqui, a gente produz essa expressão, que é equivalente a essa, então dá no mesmo escrever assim ou escrever assim, são formas equivalentes. Portanto, quando a gente for calcular o limite disso aqui, podemos calcular o limite disso que vai dar no mesmo. Então a gente pode agora tentar calcular o limite de 100 sobre a raiz quadrada de (100 mais x) mais a raiz quadrada de x quando a gente tem o x tendendo a infinito. Portanto, agora ficou muito mais prático para a gente, muito mais fácil, pois a gente tem a parte de cima do numerador fixa. Esse valor é 100, é fixo, isso aqui não está mudando, pode fazer x tender a infinito o quanto for, pode variar x o quanto você quiser, que aqui continua sendo 100. Entretanto, na parte de baixo, esse número x ficando grande, ficando realmente grande, a gente já viu que isso vai explodir, isso aqui não tem limite. Quanto mais você aumentar x, maior vão ficando essas raízes, tanto nesse pedaço quanto neste pedaço e portanto você vai juntar os dois, você vai somar esses dois e esse pedaço aqui de baixo e essa parte do denominador vão explodir, vão ser ilimitados, vão tender a infinito. E como a gente tem um numerador finito e a parte de baixo vai ficando cada vez maior, é provável que isso aqui fique cada vez menor, isso vai ficando cada vez mais próximo de zero. Então se a gente fizer x tender a infinito, isso vai para zero. E assim confirmamos aquela nossa intuição inicial do começo do vídeo.