Como usar tabelas para aproximar valores de limites

Limites são uma ferramenta para o raciocínio sobre comportamento de funções, e tabelas são uma ferramenta para o raciocínio sobre limites. Uma coisa interessante sobre tabelas é que, com elas, podemos obter estimativas mais precisas de limites do que conseguiríamos examinando gráficos.

Ao usar uma tabela para aproximar limites, é importante criá-la de maneira a simular a sensação de estarmos chegando "infinitamente perto" de um valor de $x$x desejado.

Imagine que temos que aproximar este limite:

Observação: na realidade, a função é indefinida em $x=2$x, equals, 2 porque o denominador resulta em zero, mas o limite conforme $x$x se aproxima de $2$2 ainda existe.

Etapa 1: gostaríamos de pegar um valor um pouco menor que $x=2$x, equals, 2 (ou seja, um valor que esteja "à esquerda" de $2$2, tendo como referência o eixo $x$x padrão), então talvez comecemos com algo como $x=1{,}9$x, equals, 1, comma, 9.

Etapa 2: experimente mais alguns valores de $x$x para simular a sensação de estar chegando infinitamente perto de $x=2$x, equals, 2 pela esquerda.

Observe como nossos valores de $x$x $\{1{,}9, 1{,}99, 1{,}9999\}$left brace, 1, comma, 9, comma, 1, comma, 99, comma, 1, comma, 9999, right brace realmente vão ficando "mais próximos" de $x=2$x, equals, 2. Acréscimos constantes nos valores de $x$x, como $\{-1,0,1\}$left brace, minus, 1, comma, 0, comma, 1, right brace, não teriam sido uma boa opção, pois eles não são muito úteis para se pensar em como chegar infinitamente perto de $x=2$x, equals, 2.

Etapa 3: aproxime-se de $x=2$x, equals, 2 pela direita, do mesmo jeito que fizemos pela esquerda. Queremos fazer isso para simular a sensação de estarmos chegando infinitamente perto de $x=2$x, equals, 2.

(Observação: removemos $x=2$x, equals, 2 da tabela para economizar espaço, e também porque ele não era necessário para pensarmos sobre o valor do limite).

Ao analisarmos a tabela que criamos, temos uma grande evidência de que o limite é $0{,}25$0, comma, 25. Mas, para sermos honestos conosco, devemos admitir que o que temos é apenas uma aproximação razoável. Não podemos dizer com certeza que este seja o valor real do limite.

É preciso tomar cuidado com algumas coisas na hora de criar suas próprias tabelas para aproximar limites. Evite:

Pressupor que o valor da função é igual ao valor do limite: o exemplo acima destaca um caso no qual a função é indefinida e, ainda assim, o limite existe. Evite tirar conclusões precipitadas sobre o valor do limite com base no valor da função.

Não se aproximar infinitamente: aproximar-se infinitamente significa tentar chegar tão perto do valor de $x$x desejado, a ponto de restar muito pouco espaço entre onde você está e onde está o valor—perto o suficiente para convencer de que a estimativa que está sendo calculada é a mais próxima possível do valor do limite.

Não aproximar pelos dois lados: lembre-se de se aproximar do valor de $x$x desejado tanto pela direita quanto pela esquerda. Lembre-se também de que, para o limite existir, os limites à esquerda e à direita devem ser iguais. Evite tirar conclusões precipitadas sobre o valor do limite logo depois de se aproximar do valor de $x$x desejado por apenas um lado.

Pressupor que "lado esquerdo" significa "negativo": alguns alunos acreditam erroneamente que, ao se aproximarem pela esquerda, eles devem usar números negativos. No exemplo acima, nós nos aproximamos de $x=2$x, equals, 2 pela esquerda usando valores positivos que eram só um pouquinho menores que $2$2, como $1{,}9$1, comma, 9 e $1{,}99$1, comma, 99. Não assuma que deve-se usar valores negativos de $x$x ao aproximar-se pela esquerda.

Confundir o valor do limite com o valor da função: lembre-se de que o limite de uma função em um determinado ponto não é necessariamente igual ao valor da função neste ponto. Por exemplo, no problema 2, $g(5)=6{,}37$g, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 6, comma, 37, mas $\displaystyle\lim_{x\to 5}g(x)$limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis é aproximadamente $3{,}68$3, comma, 68.

Pensar que o valor de um limite é sempre um número inteiro: alguns limites são "legais" e possuem valores inteiros ou valores fracionários bacanas. Por exemplo, o limite do nosso primeiro exemplo aqui foi $0{,}25$0, comma, 25. Alguns limites são menos "legais", como o limite do problema 2 que era algum valor em torno de $3{,}68$3, comma, 68.