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Equações diferenciais
Curso: Equações diferenciais > Unidade 1
Lição 1: Introdução às equações diferenciais- Introdução às equações diferenciais
- Verifique soluções de equações diferenciais
- Como escrever uma equação diferencial
- Escrever equações diferenciais
- Exemplo solucionado: solução linear de uma equação diferencial
- Desafio das equações diferenciais
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Introdução às equações diferenciais
Equações diferenciais são aquelas que relacionam uma função a uma ou mais de suas derivadas. Isso significa que a solução delas é uma função! Saiba mais neste vídeo.
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- Qual a resolução de: 3 x 2-1 x 0 + 2: 2 =?(1 voto)
- Determine as soluçoespara inequaçao produto
X -7x+12. (6x+18)_>0
Como resolver(1 voto) - não entendo a sua língua(1 voto)
- tem esses videos em portugues(1 voto)
- Esse resultado está correto mesmo, fiz utilizando a regra da cadeia e o resultado foi −3e^−3x(1 voto)
- Como traduzir pro Português?(1 voto)
- ola ate agora nao encontei exatamente o que queria daria pra mim ajudar na sistema de 2 equaçoes(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - Vamos introduzir a ideia
de equação diferencial. As equações diferenciais são muito úteis para modelagens e simulações de fenômenos que queremos analisar, e compreender como operam. Vamos primeiro observar o que, de fato, é uma equação diferencial. Veja esta equação: a derivada segunda de "y",
mais 2 vezes a derivada de "y", igual a 3 vezes o "y". O que temos aqui é
uma equação diferencial, porque envolve derivadas
de uma certa função "y", que pode ser considerada, por exemplo,
"y" é uma função de "x". Poderíamos escrever isto
como a notação de função. Teremos aqui f''(x), mais 2 vezes o f'(x), igual a 3 vezes o f(x). Poderíamos também usar
a notação de Leibniz. Podemos escrever aqui, a derivada segunda de "y" em relação a "x", 2 vezes, mais 2 vezes a derivada
de "y" em relação a "x" é igual a 3 vezes o "y",
que é a nossa função. Temos aqui 3 formas de representar a mesma equação diferencial. E o que esta equação diferencial está
pedindo é para que encontremos uma função, tal que a segunda derivada dela
mais 2 vezes a derivada dela é igual a três vezes
a função propriamente. Estas 3 equações são essencialmente a mesma coisa. É importante você observar que a solução para uma equação diferencial é uma função ou, então, uma família de funções. A solução para uma equação diferencial não é um valor ou um conjunto de valores. E é muito importante que
isso fique claro para você. Vamos contrastar isso com
as equações tradicionais, as equações algébricas
que você conhece há mais tempo. Eu vou colocar aqui um exemplo
de equação algébrica. x² + 3x + 2 = 0 A solução para esta equação algébrica vai ser um número ou, então,
um conjunto de números. Podemos resolvê-la facilmente fatorando, porque o que temos aqui é
(x + 2) vezes (x + 1), que tem que ser igual a zero. Então, o "x" para satisfazer essa equação é igual a -2 ou, então, "x" é igual a -1. Então, a solução para
esta equação algébrica é um conjunto, neste caso, de 2 números que satisfazem a equação. Se eu trocar o "x" por -2, a equação estará satisfeita. Ou, se eu trocar o "x" por -1,
a equação estará igualmente satisfeita. Agora, nas equações diferenciais, o que temos aqui é uma relação
entre as funções e as suas derivadas. Então, a solução de
uma equação diferencial vai ser uma função
ou um conjunto de funções. Vamos fazer isso ficar
um pouco mais tangível. O que seria, então, uma solução para uma dessas três equações diferenciais que, na verdade, são todas a mesma. Temos aqui, então, a equação diferencial e estamos procurando função
ou funções que a satisfaçam. É isso que nós buscamos ao resolver
uma equação diferencial. Geralmente, uma equação diferencial tem como solução uma variedade de funções. Uma das soluções para a equação
diferencial que temos aqui, é "y", eu vou chamar de y₁(x)
igual a "e" elevado a -3x. Agora, eu sugiro que você pause o vídeo e encontre a derivada primeira deste "y₁", a derivada segunda do "y₁" e verifique se ela funciona nesta equação diferencial que temos aqui
ao lado direito. Agora, assumindo que você trabalhou nisso, vamos terminar o trabalho juntos. Temos aqui a função y₁(x)
definida por "e" elevado a -3x. A sua derivada primeira é, vamos ter que usar a regra da cadeia. A derivada de -3x em relação a "x" é -3. Eu vou colocar aqui multiplicando, vezes a derivada de "e" elevado a -3x, em relação ao próprio -3x,
é "e" elevado a -3x. Então, a derivada primeira -é 3, "e" elevado a -3x. Vamos agora para a derivada segunda, que é a derivada da derivada primeira. Vamos usar a mesma ideia. Temos de usar a regra da cadeia. A derivada de -3x é -3, que ao multiplicar o -3
que já está aqui, fica 9, vezes "e" levado a -3x. Agora, vamos substituir estas funções
na equação diferencial e verificar se as expressões
ficam verdadeiras. Eu vou reescrever, então, aqui a derivada segunda de "y" é
9e elevado a -3x, mais 2 vezes a derivada primeira. A derivada primeira, nós temos aqui,
é -3e elevado a -3x vezes 2, vai ficar
-6e elevado a 3x. E se isso satisfaz de fato
a equação diferencial, isto que temos aqui,
precisa ser igual a 3y, que é 3 vezes a nossa função. Ou seja, 3 vezes "e" elevado à -3x. O "e" elevado a -3x é o "y",
é a função que tínhamos aqui. Vamos simplificar
o lado esquerdo da igualdade, 9e elevado a -3x, -6e elevado a -3x. Nós podemos agrupar, porque a parte do
"e" elevado a -3x é igual nos dois termos. Vamos ter então 3 "e" elevado a -3x que, de fato, é igual a 3e elevado a -3x
do lado direito da igualdade. Então, de fato, "y₁" é uma solução desta equação diferencial. Digo, uma solução, porque pode e,
de fato, vão existir outras. Vamos verificar aqui que
"e" elevado a "x", ou seja, vamos chamar de
y₂ igual a "e" elevado a "x" é também uma solução
desta equação diferencial. Mais uma vez, a sugestão
é você pausar o vídeo e verificar que isso está correto. A derivada primeira de
"y" igual "e" elevado a "x" é y' igual a "e" elevado a "x", também. A derivada segunda, que é
derivada da derivada primeira, também vai ser "e" elevado a "x". Ou seja, y'' igual a "e" elevado a "x". Agora, substituindo o y'' por "e" elevado a "x" mais 2 vezes a derivada primeira, que também é
"e" elevado a "x". Temos, então, "e" elevado a "x"
mais 2 vezes "e" elevado a "x". Isso precisa ser igual ao
segundo membro da igualdade. Que era o 3y, ou seja,
3 vezes "e" elevado a "x". De fato, isso acontece. Portanto, y₂ que é igual a
"e" elevado a "x" é outra solução da nossa
equação diferencial. Muito bem, isto é apenas um começo
da ideia de equações diferenciais. Nos próximos vídeos, nós vamos ver como são
estas famílias de funções, que podem ser soluções
de uma equação diferencial, ferramentas para resolver
equações diferenciais, visualizar as soluções
das equações diferenciais e muito mais coisas para aprofundar. Até lá!