Introdução às equações diferenciais

RKA3JV - Vamos introduzir a ideia de equação diferencial. As equações diferenciais são muito úteis para modelagens e simulações de fenômenos que queremos analisar, e compreender como operam. Vamos primeiro observar o que, de fato, é uma equação diferencial. Veja esta equação: a derivada segunda de "y", mais 2 vezes a derivada de "y", igual a 3 vezes o "y". O que temos aqui é uma equação diferencial, porque envolve derivadas de uma certa função "y", que pode ser considerada, por exemplo, "y" é uma função de "x". Poderíamos escrever isto como a notação de função. Teremos aqui f''(x), mais 2 vezes o f'(x), igual a 3 vezes o f(x). Poderíamos também usar a notação de Leibniz. Podemos escrever aqui, a derivada segunda de "y" em relação a "x", 2 vezes, mais 2 vezes a derivada de "y" em relação a "x" é igual a 3 vezes o "y", que é a nossa função. Temos aqui 3 formas de representar a mesma equação diferencial. E o que esta equação diferencial está pedindo é para que encontremos uma função, tal que a segunda derivada dela mais 2 vezes a derivada dela é igual a três vezes a função propriamente. Estas 3 equações são essencialmente a mesma coisa. É importante você observar que a solução para uma equação diferencial é uma função ou, então, uma família de funções. A solução para uma equação diferencial não é um valor ou um conjunto de valores. E é muito importante que isso fique claro para você. Vamos contrastar isso com as equações tradicionais, as equações algébricas que você conhece há mais tempo. Eu vou colocar aqui um exemplo de equação algébrica. x² + 3x + 2 = 0 A solução para esta equação algébrica vai ser um número ou, então, um conjunto de números. Podemos resolvê-la facilmente fatorando, porque o que temos aqui é (x + 2) vezes (x + 1), que tem que ser igual a zero. Então, o "x" para satisfazer essa equação é igual a -2 ou, então, "x" é igual a -1. Então, a solução para esta equação algébrica é um conjunto, neste caso, de 2 números que satisfazem a equação. Se eu trocar o "x" por -2, a equação estará satisfeita. Ou, se eu trocar o "x" por -1, a equação estará igualmente satisfeita. Agora, nas equações diferenciais, o que temos aqui é uma relação entre as funções e as suas derivadas. Então, a solução de uma equação diferencial vai ser uma função ou um conjunto de funções. Vamos fazer isso ficar um pouco mais tangível. O que seria, então, uma solução para uma dessas três equações diferenciais que, na verdade, são todas a mesma. Temos aqui, então, a equação diferencial e estamos procurando função ou funções que a satisfaçam. É isso que nós buscamos ao resolver uma equação diferencial. Geralmente, uma equação diferencial tem como solução uma variedade de funções. Uma das soluções para a equação diferencial que temos aqui, é "y", eu vou chamar de y₁(x) igual a "e" elevado a -3x. Agora, eu sugiro que você pause o vídeo e encontre a derivada primeira deste "y₁", a derivada segunda do "y₁" e verifique se ela funciona nesta equação diferencial que temos aqui ao lado direito. Agora, assumindo que você trabalhou nisso, vamos terminar o trabalho juntos. Temos aqui a função y₁(x) definida por "e" elevado a -3x. A sua derivada primeira é, vamos ter que usar a regra da cadeia. A derivada de -3x em relação a "x" é -3. Eu vou colocar aqui multiplicando, vezes a derivada de "e" elevado a -3x, em relação ao próprio -3x, é "e" elevado a -3x. Então, a derivada primeira -é 3, "e" elevado a -3x. Vamos agora para a derivada segunda, que é a derivada da derivada primeira. Vamos usar a mesma ideia. Temos de usar a regra da cadeia. A derivada de -3x é -3, que ao multiplicar o -3 que já está aqui, fica 9, vezes "e" levado a -3x. Agora, vamos substituir estas funções na equação diferencial e verificar se as expressões ficam verdadeiras. Eu vou reescrever, então, aqui a derivada segunda de "y" é 9e elevado a -3x, mais 2 vezes a derivada primeira. A derivada primeira, nós temos aqui, é -3e elevado a -3x vezes 2, vai ficar -6e elevado a 3x. E se isso satisfaz de fato a equação diferencial, isto que temos aqui, precisa ser igual a 3y, que é 3 vezes a nossa função. Ou seja, 3 vezes "e" elevado à -3x. O "e" elevado a -3x é o "y", é a função que tínhamos aqui. Vamos simplificar o lado esquerdo da igualdade, 9e elevado a -3x, -6e elevado a -3x. Nós podemos agrupar, porque a parte do "e" elevado a -3x é igual nos dois termos. Vamos ter então 3 "e" elevado a -3x que, de fato, é igual a 3e elevado a -3x do lado direito da igualdade. Então, de fato, "y₁" é uma solução desta equação diferencial. Digo, uma solução, porque pode e, de fato, vão existir outras. Vamos verificar aqui que "e" elevado a "x", ou seja, vamos chamar de y₂ igual a "e" elevado a "x" é também uma solução desta equação diferencial. Mais uma vez, a sugestão é você pausar o vídeo e verificar que isso está correto. A derivada primeira de "y" igual "e" elevado a "x" é y' igual a "e" elevado a "x", também. A derivada segunda, que é derivada da derivada primeira, também vai ser "e" elevado a "x". Ou seja, y'' igual a "e" elevado a "x". Agora, substituindo o y'' por "e" elevado a "x" mais 2 vezes a derivada primeira, que também é "e" elevado a "x". Temos, então, "e" elevado a "x" mais 2 vezes "e" elevado a "x". Isso precisa ser igual ao segundo membro da igualdade. Que era o 3y, ou seja, 3 vezes "e" elevado a "x". De fato, isso acontece. Portanto, y₂ que é igual a "e" elevado a "x" é outra solução da nossa equação diferencial. Muito bem, isto é apenas um começo da ideia de equações diferenciais. Nos próximos vídeos, nós vamos ver como são estas famílias de funções, que podem ser soluções de uma equação diferencial, ferramentas para resolver equações diferenciais, visualizar as soluções das equações diferenciais e muito mais coisas para aprofundar. Até lá!