Exemplo solucionado: solução linear de uma equação diferencial

RKA2G - Vamos ficar um pouco mais confortáveis com o conceito de equação diferencial e o que essa equação diferencial realmente é. Aqui eu vou fazer uma equação diferencial. Tendo dy/dx e a equação é -2x + 3y - 5. Como a gente pode encontrar as soluções para este tipo de equação? Vamos dizer que você viu isto e que alguém chegou em você na rua e disse: Vou te dar uma pista que existe uma solução para essa equação diferencial, que é essencialmente uma função linear, onde a função linear é y = mx + b. E você só precisa descobrir onde os "m" e os "b" (ou talvez o "m" e o "b"), o que eles fazem com esta função linear para que ela satisfaça a equação diferencial. Neste momento, eu quero que você tente fazer isso. Então, pause o vídeo e veja se você consegue fazer. Assumindo que você pausou o vídeo, vamos pensar nisso juntos agora. Se nós sabemos que esse tipo de solução pode ser descrita dessa forma (y = mx + b), a gente precisa descobrir os valores de "m" e os valores de "b". Isto diz que, se pegarmos a derivada disto em relação a "x", eu teria que seria igual a... Vamos fazer em uma outra cor... Isto seria igual a -2x + 3y - 5. Isso deve ser igual para todos os "x" e lembre-se que a solução de uma equação diferencial não é um valor ou um conjunto de valores, e sim uma função ou um conjunto de funções. Para isto satisfazer a equação diferencial, é preciso ser verdadeiro para todos os "x". Então, vamos descobrir qual é o dy/dx. Bom, dy/dx é a derivada de mx em relação a "x". Então, dy/dx é igual ao valor de "m". Podemos escrever aqui. Vou fazer na mesma cor. Podemos fazer que "m" é igual a isso que eu escrevi antes. Agora, a gente tem que substituir o "y". Para isso, eu vou apagar isto e vou substituir, vou escrever até na mesma cor. Eu tenho aqui: isto, vezes (mx + b) e isto vai ser -5, ainda. Se você não conseguiu resolver de primieira, te encorajo a começar deste ponto que a gente acabou de fazer. E agora, vamos descobrir qual o valor de "m" e "b" para esta equação, ou seja, para que esta equação seja verdadeira para todos os "x". Vamos continuar manipulando isso algebricamente. Temos que m = -2x, aqui eu faço uma distributiva, então, eu tenho: mais 3mx, mais 3b, menos 5. E agora podemos agrupar quem tem "x". Se a gente faz isso, temos, então... Vou fazer em uma outra cor. Temos que "m" é igual a (3m - 2) vezes "x" (isto é colocar em evidência), mais 3b - 5. Lembre-se que isto precisa ser verdadeiro para todos os "x" e note que a gente tem, aqui, alguns coeficientes vezes "x" do lado direito, mas, do lado esquerdo, a gente não tem. A gente não tem essa forma. Precisamos fazer, então, com que este (3m - 2) vezes "x" desapareça. E este 3b - 5 é uma constante, é razoável que essa constante seja igual ao valor de "m". A única maneira que a gente tem de fazer este "x" desaparecer para que tudo isto, tudo que a gente tem... Para que tudo que sobre seja "m", é que este (3m - 2)x seja igual a zero. Então, dizendo que "m", que é um valor constante, é igual a um coeficiente vezes "x" mais um valor constante, para fazer isso, eu tenho que fazer com que este coeficiente "x", este coeficiente de "x" deve ser zero. Para fazer isso, eu tenho que reescrever. Então, eu poderia colocar que eu tenho: 0x + m como sendo igual a (3m - 2) vezes "x", mais 3b - 5. Deste jeito que a gente fez, nós combinamos os coeficientes. Nós combinamos os coeficientes. Então, a gente tem que: 0x = 3m - 2 e "m" ficaria igual a 3b - 5. Vamos usar estas informações para calcular "m" e "b". Eu tenho que: (3m - 2) = 0. Então, 3m = 2. m = 2/3. Agora, podemos calcular o valor de "b", usando a outra equação. Podemos falar que m = 3b - 5. Podemos substituir: 2/3 é o valor de "m", que é igual a 2b - 5. Para fazer esta conta, a gente pode somar 5 dos dois lados e somar 5 é igual a somar 15/3 dos dois lados. Então, nós temos: 15/3 + 2/3, que vai ser igual a 3b + 15/3 + 5... Menos 5, perdão. Isto vai ser igual a zero, se cancela. Eu só vou ter aqui ainda: 17/3 = 3b. E "b" vai ser igual a 17/9. Acabamos de descobrir uma solução particular para esta equação diferencial. A nossa solução, nós tínhamos que "y" = mx + b, certo? Que vimos ali em cima. Seguindo esse modelo, a solução: y = 2/3x + 17/9. Depois de assistir este vídeo, tente verificar sozinho se esta solução satisfaz mesmo esta equação diferencial para todos os "x".