Exemplo resolvido: método de Euler

RKA2G - Agora que já vimos o que é o método de Euler, nós podemos começar a utilizá-lo para resolver alguns problemas. E o primeiro problema que a gente tem é este. "Considere a equação diferencial dy/dx = 3x - 2y. Assuma que y = g(x) é uma solução particular para a equação diferencial com a condição inicial g(0) = k, onde 'k' é uma constante. O método de Euler, começando com x = 0 com variação igual a 1 dá uma aproximação g(2) aproximadamente igual a 4,5. Encontre o valor de 'k'." Para resolver este problema, eu vou fazer algo muito parecido com o que fiz anteriormente. Vou fazer uma tabela com o "x", o "y" e o resultado desta equação diferencial, de dy/dx. Podemos construir uma tabela, aqui temos o "x". Aqui, o "y". E aqui sendo dy/dx. Beleza, vamos ver por onde a gente vai começar. Para isso, vamos ler. Já estamos assumindo que y = g(x) e que é uma solução particular para esta equação diferencial. E aqui nós temos uma condição inicial g(0), ou seja, quando x = 0, nós temos y = k. Então, para "x" igual a zero, nós temos "y" igual a "k". E qual vai ser o resultado de dy/dx? Basta resolver esta equação diferencial. Aqui nós vamos ter: 3 vezes "x", em que "x" é zero, menos 2 vezes "y", em que "y" é "k". Então, o resultado é 0 - 2k, que é igual a -2k. Ok, vamos continuar lendo. "O método de Euler, começando com x = 0", conforme já vimos aqui, "com uma variação igual a 1". Vamos fazer uma variação igual a 1. Então, vamos ter zero mais 1. 0 + 1 = 1. Qual vai ser o valor de "k" neste caso? Como a inclinação é -2k, para a gente ter essa inclinação, eu preciso ter uma variação no "y" que, dividindo por esta variação em "x", me dê um valor igual a -2k. Qual vai ser essa variação? Esta variação no "y" vai ser igual a -2k. Porque, se eu dividir -2k por 1, eu vou ter uma inclinação igual a -2k. Agora, sim, para achar o "y", basta pegar k - 2k. E k - 2k = -k. Se eu já tenho agora o "y" e o "x", eu consigo encontra dy/dx, resolvendo esta equação diferencial. A gente vai ter: 3 vezes "x" (que é 1), menos 2y, em que y = -k. Então, teremos aqui: 3 vezes 1, que é 3, menos 2 vezes -k, que é igual a +2k. Beleza, calculando agora o próximo passo. Temos aqui, novamente, mais 1. 1 + 1 = 2. Observe que a variação é igual a 1. Para obter uma inclinação igual a 3 + 2k, a gente precisa ter uma variação no "y" que, dividindo por 1, seja igual a 3 + 2k. Então, esta variação no "y" também vai ter que ser igual a 3 + 2k. Afinal de contas, 3 + 2k, dividido por 1, é igual a 3 + 2k. -k + 3 + 2k = 3 + k. Beleza? -k + 3 + 2k = 3 + k. E qual vai ser o resultado desta equação diferencial? Nem precisamos resolver agora porque não vamos fazer o próximo passo, já que o problema deu informações para g(x) = 2. Ele disse que o "g", quando "x" é igual a 2, vale 4,5. Então, y = 3 + k, onde "y" é igual a g(x), me diz que 3 + k = 4,5. Podemos dizer que 3 + k = 4,5. Ou seja, k = 4,5 - 3, que é igual a 1,5. Encontramos o valor de "k" e resolvemos o problema. Claro que, se o problema perguntasse outras coisas, por exemplo: quanto vale "y" com x =0? Vai ser igual a "k", que é igual a 1,5. Quanto vale g(x) quando y = 1? Vai ser igual a -1,5. E assim, substituindo todos os "k" por 1,5, nós conseguimos resolver todas estas expressões. Eu espero que você tenha gostado deste vídeo, deste problema utilizando o método de Euler. A gente se vê no próximo vídeo!