Equações exatas - exemplo 1

RKA8JV - Eu sei que embolei um pouco a mente de vocês com derivadas parciais e Ψ relativos ao "x" e "y", mas agora chegou a hora de usar uma equação diferencial mais concreta. Então, supondo que temos a equação diferencial, ycosx + (2xeʸ + senx + x²eʸ - 1). Isso tudo vou colocar entre parênteses, vezes a derivada de primeira ordem igual a zero. Eu espero que seu cérebro já tenha associado bastante equações diferenciais, porque quando você olha para esta equação aqui, eu tenho esta parte e tenho esta parte aqui também, você deve pensar que é impossível separá-la, então, automaticamente você pensa que é uma equação exata. E eu não vou tentar fazer com que a equação seja separável porque isso vai tomar um pouquinho de tempo. Como eu falei, se não é separável, você automaticamente pensa que a equação é exata. Então a gente vai testar isso. Vamos dizer que para testar se é exata, você vai chamar essa primeira função aqui, essa primeira parte, de M(x,y), e essa segunda parte você vai chamar de N(x,y). Então o M(x,y) e o N(x,y), na verdade, são as derivadas parciais disto aqui e disto aqui. Se você derivar parcialmente isto aqui, você considera o "x" constante e em N(x,y) você vai considerar o "y" constante. Então, eu vou escrever aqui que ''M", a derivada parcial vai ser "My" igual ao cos(x) + 2xeʸ. Isso porque eu derivei isso aqui considerando o "x" constante, então, por isso que eu cheguei nisso aqui. Agora, vou fazer a mesma coisa aqui considerando o "y" com uma constante. Então, eu vou colocar que "Nx" vai ser igual ao "cosx + 2xeʸ". Bem, então parece que você estava certo. Como o "My" é igual ao "Nx", então, esta equação aqui é exata. Eu vou escrever que o "My" é igual ao "Nx", logo, isso vai ser uma equação exata, e eu vou escrever aqui: exata. O que isso nos diz? Isso nos diz que existe uma função, que eu vou chamar de Ψ, cujo a derivada dessa função em relação a "x" vai ser igual a "M''. Então eu vou escrever que Ψx vai ser igual a "M". A derivada parcial dessa função Ψ, que eu vou chamar de Ψy, vai ser igual ao nosso "N". E se a gente descobrir a nossa função Ψ, a gente vai conseguir reescrever a nossa equação diferencial como derivada de Ψ, ou melhor dizendo, vamos poder reescrever a derivada em relação a "x" da função Ψ igual a zero. Então, vamos resolver para Ψ. Como sabemos, a derivada parcial de Ψ em relação a "x" é igual a "M". Então, podemos reescrever que a parcial de Ψ com relação a "x" é igual a "M". Isso equivale a dizer que a derivada parcial de "x" é igual a isso aqui, então, eu vou escrever "ycosx + 2xeʸ" E claro, como eu estou igualando o Ψx a "M", eu tenho igualar a esta função. Se eu quisesse trabalhar com o "N", eu teria que trabalhar com esta função aqui. Mas de qualquer jeito, eu vou continuar trabalhando com a derivada parcial de "x" porque vai ser mais fácil de resolver. Então, se a gente quer saber qual é a função que a gente derivou em relação a "x", eu vou integrar em ambos os lados com relação a "x", então, eu vou escrever que a integral de Ψx dx vai ser igual à integral de "ycosx + 2xeʸ", isso tudo aqui eu vou colocar entre parênteses, dx, mais, já que eu estou integrando em relação ao "x", então, o "y" vai ser uma função constante. Então, explicando isso daqui melhor, eu tenho que pensar o seguinte: quando eu calculo a derivada parcial em relação a "x" de uma função, nós assumimos o "y" como constante, então, por isso que eu coloquei constante aqui. Integrando em ambos os membros, quando a gente integrar esta derivada aqui, vai acabar ficando a própria função Ψ. Então vamos ficar com: Ψ = y vezes a derivada do cosseno, que é o "senx", mais x²eʸ, mais a nossa constante, que é f(y). Chegamos nisso aqui porque eu integrei isso aqui, e aí deu este termo. Aqui, eu continuei com a nossa função constante. Então, o que sabemos é que, se a gente toma a parcial disso aqui em relação a "x", esse f(y) vai sumir e aí ficaremos somente com esse M(x,y). Agora, se tomarmos a parcial em relação a "y", vamos ficar com esse N(x,y) aqui. Então, para descobrir qual é essa função, o que eu tenho que fazer é tomar a parcial em relação a "y". No caso, a parcial da nossa função Ψ. Então, eu vou colocar aqui, que a parcial na nossa função Ψ em relação a "y" vai ser igual ao senx + x²eʸ mais a derivada da função "y". E como eu falei para vocês, que se eu derivasse isso aqui em relação a "y", teríamos essa parte aqui, que é o N(x, y), então, eu vou colocar isso aqui e vou igualar ao N(x,y). Vai ficar igual a senx + x²eʸ - 1. Bem, agora eu posso resolver isso aqui, e eu vou cancelar alguns termos. Eu vou fazer o seguinte: eu vou cancelar este "senx" aqui do lado esquerdo com este "senx" do lado direito. O que mais eu posso cancelar? Ah, esse cara aqui, este termo, eu posso cancelar com esse, e sobra, somente, a nossa derivada de "y", e também o -1. Então, eu vou colocar que a derivada de "y" vai ser igual a -1. Portanto, se eu tenho a derivada, eu posso integrar para achar a função "y". Então, eu vou integrar e chego em um "y", uma função de "y", igual a "-y + c". Eu vou substituir o nosso f(y), que é a nossa constante aqui, então, eu vou ficar com ysenx + x²eʸ - y mais a nossa constante "c". Eu vou descer aqui para sobrar um espaço. O que isso nos mostra? Isso nos mostra que a nossa equação original pode ser reescrita como a derivada em relação a "x" da nossa função (x,y). Então, eu vou escrever que a derivada em relação a "x" na nossa função é igual a zero. E se eu integrar em ambos os lados, eu chego que a minha função Ψ(x,y) é igual a uma constante "c". E se eu substituir a minha função, que é isto daqui, aqui, eu vou ficar com: ysenx + x²eʸ - y + c, eu vou chamar de c₁, vai ser igual a uma constante, que vou chamar, agora, de c₂, e eu posso subtrair dos dois lados esta constante e ficar somente com uma. Eu vou tirar esta daqui e vou ficar somente com uma constante. Enfim, nós deduzimos que esta equação era exata, e concluímos que isso era verdade, porque calculamos a derivada parcial de "y" e a derivada parcial de "x". Como o "My" é igual ao ''Nx'', concluímos que esta equação era exata. Então, dado aqui a equação exata, "M" vai ser derivada parcial de Ψ, em relação a "x". Para achar a função "y", nós integramos esta equação aqui em ambos os lados e resolvemos até chegar aqui. Chegando aqui, nós integramos de novo e concluímos que a nossa constante, que era a função f(y), era igual a "-y + c". E como eu tinha deduzido para vocês que, se eu derivasse em relação a "x", essa função Ψ daria zero, portanto, eu integrei ambos os membros e descobri que a função Ψ, de fato, era uma constante "c". Por fim, eu cheguei nisto aqui, que era o que a gente estava querendo saber. Enfim, pessoal, até o próximo vídeo!