Equações exatas - exemplo 2

RKA3JV - Vamos fazer mais alguns exemplos com equações diferenciais exatas. Bom, eu vou apresentar algumas equações e a gente vai descobrir se elas são exatas e se elas forem, a gente vai usar o que a gente sabe de equações diferenciais para descobrir as soluções. Bom, a primeira delas, que eu peguei de um livro, é a equação aqui diz que 2x + 3 + (2y - 2)y' = 0. Bom, este nosso primeiro termo aqui é "M", certo? Então, a gente tem aqui "M", M(x). Bom, e o nosso segundo termo é "N". Então, qual é a derivada parcial que a gente tem em relação a "y"? Bom, aqui a gente não tem "y", então, M(y) aqui é igual a zero. E, agora, qual é a parcial de "N" em relação a "x"? Aqui, eu não tenho "x", certo? Então, isso que eu tenho aqui são constantes do ponto de vista de "x". Então N(x) vai ser igual a zero. Bom, os dois são zero, então M(y), ou a parcial em relação a "y", é igual à parcial em relação a "x". Quando a gente tem isso, M(y) = N(x), a gente tem, então, que isso é exato ou exata. Sabendo que ela é exata, a gente diz que é uma função "psi" ou uma função de onda. Ela é uma função de "x" e "y". Eu vou anotar, eu fazer aqui em uma outra cor. Eu vou fazer aqui em cima. Ela é uma função de "x" e "y", onde eu tenho meu psi parcial de "x", que é igual à função que a gente viu lá no começo. Mas na parte que a gente chama de "M" é, melhor, eu vou fazer aqui psi de "x". A parte que a gente chamou de "M" é 2x + 3, é a parcial em "x". E psi parcial de "y" é igual a 2y - 2, que foi o que a gente chamou de "N" antes. Bom, se a gente encontrar o valor de psi, a gente vai reconhecer que a nossa equação inicial é a derivada de psi, porque a derivada de psi, vamos chamar aqui de d/dx de psi é igual à parcial em "x", mais a parcial em relação a "y", y'. Bom, se a gente descobrir "y", a gente pode reescrever a nossa equação como se fosse, eu poderia reescrever a minha equação como se fosse d/dx de psi como sendo igual a zero. Isso que eu tenho aqui é igual a zero, certo? Então, a gente pode reescrever dessa maneira que eu fiz aqui. E como que a gente sabe disso? Porque a derivada de psi em relação a "x", usando a regra da cadeia em derivadas parciais, é igual a isso que a gente tem aqui. Mas, antes de a gente descobrir psi, se a derivada de psi em relação a "x" é zero, e se você integrar os dois lados, a solução da nossa equação pode ser psi = "c". Se a gente tiver uma condição inicial, a gente pode resolver para "c", como a gente acabou de ver aqui. Então, vamos resolver psi. Então, vamos integrar os dois lados desta equação em relação a "x". Então, fazendo isso, daqui para baixo, eu fazer aqui em verde. Eu tenho, então, que psi é igual a x² + 3x. E eu tenho aqui mais alguma função de "y", que eu vou chamar de h(y). Só relembrando, eu cheguei nestes valores a partir daqui. Então, lembre-se que quando a gente faz uma antiderivada, você tem um +c aqui, certo? Mas a gente pode dizer que a gente tomou a antiderivada parcial. Quando a gente faz a derivada parcial em relação a "x", a gente não só perde as constantes, mas a gente também perde qualquer coisa que seja uma função de "y". Por exemplo, faça você mesmo a derivada parcial disso que a gente tem aqui em relação a "x". Você vai perder este h(y), porque ela é a derivada parcial de uma função. Porque ela é derivada parcial de uma função, ok? Tomando a antiderivada que a gente tem, a gente fica, então, com psi, que é igual a x² + 3x + h(y), que é exatamente o que eu acabei de escrever aqui em cima, certo? Bom, agora vamos usar a nossa informação que a gente tinha aqui. Vamos usar essa informação aqui. Bom, a parcial de psi em relação a "y", quando a gente vai fazer isso, eu tenho que pegar aqui, então, psi, que é igual a h'(y). Bom, nas partes de "x" eu vou ter zero, certo? Então, eu só tenho isso aqui de sobra. A gente sabe que a h'(y) é a parcial de psi, que vai ser igual a 2y - 2, que é o valor que a gente viu aqui em cima, certo? Bom, se eu quiser descobrir h(y), eu tenho, então, que é igual a y² - 2y. A gente poderia ter mais "c" aqui, mas se você viu outros exemplos, você notou que aquele "c" se une com outro "c". Então, a gente não precisa se preocupar com isso agora. Bom, qual é, então, a nossa função psi? Vamos fazer aqui, eu vou fazer em azul. A nossa função, então, de "x" e "y", é igual a x² + 3x + y² - 2y. E a gente sabe que a nossa solução da nossa equação diferencial original, que é psi igual a "c", a gente pode dizer então que isso que a gente tem aqui é igual a "c". Se a gente tivesse uma condição inicial, a gente poderia testar este tipo de afirmação. E eu te encorajo a testar isso aqui nesta equação. Ou você pode fazer a derivada de psi e provar para você mesmo que, se você fizer a derivada de psi em relação a "x", você chegaria neste valor que a gente viu aqui em cima, que foi o valor que a gente começou este exercício. Bom, eu vou fazer mais um exemplo. Vou vir aqui para baixo, e vou fazer aqui. Eu tenho aqui, então, 2x + 4y. Este é um outro exemplo que eu peguei em um livro. Mais, (2x - 2y)y' = 0. Bom, qual é a parcial disso em relação a "y"? M(y) vai ser igual a 4. Em relação a "x", neste termo que a gente tem, a gente tem N(x) que vai ser igual a 2. Bom, de cara já dá para ver que isso não é exato. Então, não é exata. E quando a gente tem as parciais diferentes, a gente não consegue resolver com o método que eu mostrei antes. Bom, eu ia fazer mais um exemplo, mas eu não quero ficar com o tempo muito corrido aqui. Então, em outros vídeos a gente vai conversar mais sobre este tipo de equação. Até o próximo vídeo!