Equações exatas - exemplo 3

RKA1JV - Olá, de novo! Eu estou tentando mostrar tantos exemplos quanto forem possíveis sobre resolver equações diferenciais exatas. Primeiro, descubra se as equações são exatas e depois como definir Ψ e a solução da sua equação diferencial. Vamos lá, eu tenho um exemplo aqui. O exemplo que eu peguei de um livro bem antigo. A gente tem aqui 3x² -2xy +2, isso vezes dx, mais 6y² - x² + 3dy igual a zero. Ela está quase escrita bem na forma que a gente quer. A forma que a gente quer é a forma que diz que M(x,y) + N(x,y) vezes dy/dx é igual a zero. Como a gente coloca a nossa equação aqui de cima nessa forma? Vamos dividir os dois lados por dx. Quando a gente faz isso, a gente tem 3x² -2xy + 2 + 6y² + x² + 3 e aqui a gente tem dy/dx igual a zero. Agora nós temos a forma que nós precisávamos e a gente pode, nós precisamos provar que isso é uma equação exata. Como a gente prova? A gente precisa saber a parcial de "M" em relação a "y". Vamos fazer isso. A parcial de "M" em relação a "y" vai ser igual a -2x. Olhando aqui, -2x. Agora a gente quer saber a parcial de "N" em relação a "x", utilizando isso aqui. Fazendo isso, a gente tem de novo que é -2x, exatamente o que a gente precisa. Opa, eu fiz um errinho aqui, cuidado para não fazer o mesmo que eu. Aqui é -x². Senão, a gente teria uma parcial diferente. Aqui a gente tem -2x. A gente tem que My é igual a Nx, então, a nossa equação é exata. A gente tem uma equação equação exata. Agora a gente precisa encontrar Ψ. A gente tem que fazer Ψ em relação a "x", que vai ser igual a, vou fazer em outra cor para não ficar tão monocromático. Eu tenho que isso aqui vai ser igual a 3x² - 2xy + 2, isso que eu acabei de colocar aqui é "M". Vamos tirar a antiderivada em relação a "x" dos dois lados. Eu teria Ψ seria igual a x³ - x²y +2x, e aqui eu vou colocar uma constante. Quando a gente tira a antiderivada, a gente aprende que tem que colocar isso. Uma função qualquer H(y). Para saber Ψ só precisa calcular H(y) e a gente já fez isso em alguns outros vídeos. A gente tem que fazer isso com a parcial de Ψ em relação a "y". Vamos fazer aqui em uma outra cor. A parcial de Ψ em relação a "y", que vai ser igual, vamos ver, vai ser igual a -x² + H'(y) que vai ser igual a 6y², opa, vou fazer aqui, 6y² - x³ + 3. A gente pode somar x² dos dois lados. A gente tem H'(y) como sendo igual a 6y² + 3. Fazendo a antiderivada, a gente tem H' como sendo igual a 2y³ + 3y. Agora qual que é a nossa função Ψ ? A nossa função Ψ vai ser, então, aqui em vermelho, a nossa função Ψ vai ser uma função de "x" e "y". Ψ é uma função de "x" e "y". A gente tem, então, x³ - x²y + 2x + 2y³ +y³ + 3y. Eu vou fazer uma coisa diferente, não vou simplesmente passar por esse problema. Vamos voltar um pouco na nossa intuição. Vamos pegar o que você aprendeu de derivadas e vamos primeiro pensar qual é a derivada de Ψ em relação a "x". A gente teria "d" sobre "dx", de Ψ que é uma função de "x" e "y" que vai ser igual, aqui a gente só usou as nossas habilidades de diferenciação implícita. Vamos fazer a derivada disso. Vai ser igual a 3x² menos, aqui eu posso colocar um parênteses, 2xy + x²y' + 2. Pensando agora em 2y³ em relação ao "y", primeiro, a gente pode colocar como sendo 6y², então, isso aqui eu tenho +6y²y' + 3y'. Perceba que eu só estou usando a regra da cadeia onde eu coloquei esse y'. Vamos tentar simplificar isso. Eu tenho que isso pode ser igual a 3x² - 2xy + 2, botando em evidência aqui, -x² + 6y² + 3. Essa é a derivada de Ψ como nós resolvemos antes. E preste atenção, perceba que isso é a mesma coisa que o nosso problema original. O nosso problema original aqui em cima é a mesma coisa que o nosso Ψ que a gente viu lá embaixo. A derivada de Ψ em relação a "x" é exatamente isso que eu acabei de falar, e eu espero que você tenha entendido por que nós podemos escrever isso como d/dx de Ψ, função de "x" e "y" como sendo igual a zero. Se a gente tira a antiderivada dos dois lados, a nossa solução vai ser Ψ, que é a função, opa, saiu um "Q" sem querer. Um Ψ que é uma função de "x" e "y", como sendo igual a "C". Tudo o que eu fiz a partir de d/dx foi apenas uma forma de mostrar como a gente resolve Ψ. Assim você entende e não faz esse problema só de forma mecânica. A nossa solução, a nossa equação original era igual a zero, então, a gente acabou de ver que Ψ vai ser igual a "C". Ou você pode escrever como sendo x³ - x²y + 2x + 2y³ + 3y igual a C. E era isso. Até mais!