Equações exatas intuitivas 2 (demonstração)

RKA8JV - No último vídeo, eu introduzi a ideia de regra da cadeia com derivadas parciais. Então, dissemos que se temos uma função de "xy", que eu chamei de Ψ(x, y), se eu derivar em relação a "x", isso aqui vai ser igual à derivada da função Ψ em relação a "x" mais a derivada da função Ψ em relação a "y", dy/dx. Esta aqui era a regra da cadeia para derivadas parciais. No vídeo anterior, eu não provei isso, mas nós tivemos uma boa intuição, e claro, se você quiser provas mais rigorosas, você pode isso pesquisar na internet. Então, vamos explorar outra ideia de derivadas parciais, e aí teremos uma boa intuição das equações exatas. Então, digamos que eu tenha aqui a derivada em relação a "x" da nossa função Ψ, e eu queira tirar a derivada em relação a "y" disso, então a derivada em relação a "y". Isso vai ser igual à derivada ao quadrado de Ψ em relação a "y" vezes em relação a "x", que é o mesmo que eu colocar Ψxy. Ou seja, primeiro eu tiro a derivada parcial de "x" e depois eu tiro a derivada parcial em "y". Bem, basicamente, você primeiro tira a derivada parcial da função Ψ em relação a "x", mantendo o "y" constante, e depois você tira a parcial do "y", mantendo o "x" constante. Eu posso reescrever também, eu posso colocar a derivada parcial em relação a "y" da função Ψ, e eu posso tirar a parcial em relação a "x". Isso vai ser igual a δ²Ψ/δxδy, que é a mesma coisa que Ψyx, ou seja, primeiro eu calculo a derivada parcial em relação a ''y" da função Ψ mantendo o "x" constante. E depois que fizer isso, eu calculo a derivada parcial em relação a "x" mantendo o "y" constante. Então, se estas derivadas aqui são contínuas, isso aqui é igual a isto. Então,Ψxy = Ψyx. Podemos utilizar esse conceito aqui junto com a regra da cadeia para resolver algumas equações diferenciais. Então, isso aqui também vai ser muito útil. Então, uma equação exata se parece com isso que eu vou colocar aqui. "M(x,y) + N(x,y)dy/dx = 0". Bem, e você olha para esta equação e você vê que ela não é separável. E você se pergunta: "será que ela é uma equação exata?" Mas o que é uma equação exata? Olhe só, observe que esta equação se parece com isso aqui, então temos um padrão. Comparando com a regra da cadeia aqui, temos que o M(x,y) é igual à derivada parcial em relação ao "x", e o N(x,y) é igual à derivada parcial do Ψ em relação ao "y". Então, eu posso escrever que Ψx = M, e o Ψy = N. Então, se isso daqui é verdade, podemos reescrever essa equação como: "Ψx + Ψy dy/dx = 0". Então, observe que se isto aqui é igual a essa regra da cadeia aqui, nós podemos comparar isso aqui a zero. Então, eu posso reescrever que a derivada em relação a "x" de Ψ(x,y), igual a zero. Então, usando esta informação aqui, temos que esta aqui é a derivada parcial em "x" e esta aqui é a derivada parcial em "y", então, podemos reescrever dessa forma aqui. E integrando ambos os membros, concluímos que: Ψ(x,y) é igual a uma constante "c". Então você deve fazer duas perguntas: A primeira é "como eu sei que isso é uma equação exata?" Se for uma equação exata, caso exista algum Ψ, como que eu resolvo para Ψ? Então, um meio para descobrir se é uma equação exata, é usar esta informação aqui. Sabemos que se Ψ e suas derivadas são contínuas sobre um domínio que quando você tira a parcial em relação a "x" e depois em relação a "y", isso é a mesma coisa que fazer isso aqui na ordem contrária. Então dizemos que isto aqui é a derivada parcial em relação a "x" e isso aqui é a derivada parcial em relação a "y". Se formos tirar a parcial de "M" em relação a "y", então vamos ter a derivada da função Ψ em relação a "x" igual a "M". Então, se tiramos a derivada parcial de "x" e depois tiramos a derivada parcial em relação a "y", isso vai ser igual a My. Se tirarmos a derivada parcial em relação a "y" e depois em relação a "x", isso vai ser igual a "Nx". Sabemos que isto é igual se os Ψ e suas parciais são contínuos sobre o domínio. E isso aqui também vai ser igual. Deixe-me eu colocar aqui embaixo para você ver melhor. Eu vou reescrever. Então, o que eu estou querendo dizer é basicamente: se você tem uma equação da forma M(x,y) + N(x,y) dy/dx, e isso for igual a zero, e se você tira as derivadas parciais de "M" e também de "N", você tem que a derivada parcial em relação a "y", se a derivada parcial de "y" for igual a derivada parcial de "x", essa equação é uma equação exata. Ou seja, isso nos diz que existe uma função Ψ, dado que a derivada parcial em relação a "x" da função Ψ(x,y), vai ser igual a zero. Ou então eu posso dizer que Ψx, que é a solução, Ψ(x,y), é igual a uma constante "c", e também posso dizer que a derivada parcial de Ψ em relação a "x" é igual a "M", e a derivada parcial de Ψ em relação a "y" é igual a "N". Nos próximos vídeos, eu vou te mostrar como achar essa função. E uma coisa que eu quero frisar para vocês é isso aqui é a derivada parcial em relação a "x", mas quando fazemos o teste, tiramos a parcial disso em relação ao "y" para termos aquela derivada mista ali. Enfim, pessoal, até o próximo vídeo!