Fatores integrantes 1

o que se aprende equações diferenciais na verdade é um conjunto de truques eu vou mostrar pra vocês um desses truques agora enfim o que vamos aprender hoje é o que chamamos de fator integrante então vamos dizer que temos uma equação da forma 3 x e y más y ao quadrado entre parentes mais x ao quadrado mais x e y vez a derivada de primeira ordem igual a zero e você pode pensar que essa equação é uma equação exata e como é que você faz para testar se ela exata nós já havíamos esse teste então vamos fazer o seguinte vamos chamar dmy agravada parcial é y então vamos dizer que isso aqui é nossa função m e é essa aqui é nosso ele então eu vou calcular derivada parcial de y como mdy que vai ser igual seu calcular a derivada parcial disso daqui eu vou ficar com 3 x mais dois y isso porque o derive em relação à y e se eu deriva' em relação à x eu vou ter que o nx vai ser igual a 2 x 1 mas y isso porque seu de levar em relação à x aqui eu vou levar isso aqui vai dar 2 x 1 e aqui eu vou aplicar a regra do produto mas considerando o y como constante então a gente chega à conclusão que o mym diferente do nx ou seja o mym diferente do nx então a equação não é exato em que a gente tem que proceder de outra maneira então pensa como imagina que existe uma função que eu vou multiplicar os dois lados dessa equação por essa função e vai transformá la em equação exata ea gente vai chamar isso de fator integrante então vamos dizer que a nossa função seja o que a gente chama de mim essa letra que eu me e eu vou multiplicar os dois lados então mais m vezes 3 x e y mais y ao quadrado mas o nome de x e the xx que multiplica x ao quadrado mais x e y vezes vezes a derivada de primeira ordem igual a zero porque se multiplicar o nome de x 0 vai acabar dando 0 mesmo então o que estamos fazendo é multiplicar toda a equação por um fator integrante de modo a torná-la exata então a derivada parcial disso daqui em relação à y tem que ser igual a derivada parcial disso daqui em relação à x então se ele vai estar aqui em relação à o y é a derivada parcial de y o omid x é como uma constante então eu vou colocar o midi x como se fosse uma constante então vou colocar aqui que eu me deixes omid x vai ser uma constante multiplicada pela derivada parcial disso daqui relação à y que vai ser 3 x mais dois y e seu de levar isso daqui em relação à x como eu tenho duas funções aqui eu tenho que utilizar a regra do produto de derivadas então vou ficar bom a derivada da primeira função vezes a segunda função mas a primeira função vezes a derivada da segunda função então eu vou colocar aqui então a derivada nome de x vezes x ao quadrado nós x e y mas me disse a primeira função vezes a derivada da segunda função que vai ser 2 x mais isso então seu multipliquei pelo fator integrante que é homem de x a fim de tornar essa equação aqui exata então o md y tem que ser igual ao ndx ou seja isso daqui tem que ser igual a isso aqui então eu vou colocar ou igual à que então dando uma ajeitada nessa equação podemos colocá la como me diz x que multiplica 3x mais dois y - me deixes que multiplica 2x mais y isso vai ser igual a derivada de mx dx ao quadrado mais x y e ajeitando o lado esquerdo ficamos com me dê x se multiplica 3x mais dois y - 2 x y isso aqui é igual a derivada de mid x que multiplica x ao quadrado mais x y e ajeitando os termos entre parênteses e também colocando o xis em evidência aqui ficamos com me the xx que multiplica x mais y isso vai ser igual a derivada a derivada de md x que multiplica x vezes x mais y e agora eu posso dividir ambos os membros da equação porches mais y e pós cancelar aqui e também aqui e acaba ficando com me enche igual a derivada a derivada de md x vezes shishin e eu posso escrever na seguinte maneira eu posso dizer que o omid x mas se igual a de n 10 x vezes x e olhando bem aqui eu posso dividir ambos os membros da equação peluches e acaba ficando com me dê x sobre x igual a adm deixe eu vou puxar uma setinha aqui para ficar embolado então vou dividir agora ambos os membros da equação por mide x e vou ficar com ou sobre x igual a 1 sobre me de me deixe deixe e possa multiplicar ambos os membros da equação por de x ficando com o sobre xx igual a 1 sobre e demi se você quiser você pode integrar em ambos os lados da equação e também achar o logaritmo natural de x você vai chegar na mesma resposta que é que o midi x que o midi x vai ser igual ao x então me dê x é igual a xvii esse aqui é nosso fator integrante então se eu quisesse transformar essa equação aqui uma equação exata eu teria que multiplicar ambos os membros da equação por esse fator integrante aqui enfim pessoal até o próximo vídeo