Fatores integrantes 2

RKA14C No último vídeo, nós vimos uma equação diferencial que era: 3xy mais y², vezes x² mais xy, vezes y', tudo isso igual a 0. Também vimos My = 3x + 2y, que era diferente de Nx = 2x + y. E essa equação pareceu ser exata, mas, quando tiramos a derivada parcial dessa expressão, que chamávamos de M em relação a y e vimos que foi diferente de N em relação a x, nós ficamos com uma pulga atrás da orelha. A partir disso, nos questionamos: "O que aconteceria se multiplicássemos os dois lados da equação por uma função que a tornaria exata?". No último vídeo, acabamos resolvendo. Multiplicamos os dois lados da equação por μ(x), que era igual a x. Fazendo isso, teríamos uma equação diferencial exata. Vamos fazer isso agora, vamos resolver esse problema. Vamos multiplicar os dois lados da nossa equação por μ. Então, fazendo isso, vou fazer aqui com uma cor diferente, eu teria: 3x²y mais y², mais x³ mais x²y, isso vezes y', e tudo igual a 0. Bom, só para ter certeza, vamos conferir se a nossa equação diferencial é exata. Vamos lá, temos aqui: 3x² mais 2xy. Então, 3x² mais 2xy seria a nossa primeira parcial. E aqui teríamos: 3x² mais 2xy. As nossas parciais são iguais, então, podemos marcar "parciais iguais". Temos uma equação exata agora. Tudo que nós fizemos não vai alterar a solução dessa nossa equação. Vamos resolver. Como fazemos isso? Primeiro, temos que ver a parcial de Ψ em relação a x. Então, Ψx é igual a 3x²y mais xy². Vamos tirar a nossa antiderivada. Então, temos a derivada de Ψ. Temos Ψ = x³y mais 1/2 vezes x² vezes y². Esse é Ψ, uma função de xy. Então, quando você tira a derivada parcial em relação a x, você pode ter perdido alguma função que é somente função de y. Bom, em vez de "mais C", eu vou escrever isto aqui como "mais h(y)", que é uma função qualquer de y. Ainda não acabamos. Precisamos descobrir quem é h(y). Então, vamos fazer isso. Qual é a derivada parcial da expressão em relação a y? Vamos fazer isso aqui embaixo, com uma outra cor. Então, eu tenho Ψ em relação a y vai ser igual a x³ mais x²y mais h'(y). Isso deve ser igual ao nosso novo M. Bom, que é então... Vamos fazer aqui. ...que é então x³ mais x²y... Vamos arrumar isso. ...x³ mais x²y. Bom, feito isso, vamos simplificar. Fazemos x³ com x³ e x²y com x²y. Então, quando fazemos isso, ficamos com h'(y) como sendo igual a zero, ou h(y) = C. Não existe y, apenas existe uma constante. Então, o nosso Ψ vai ser igual a: x³y mais 1/2 vezes x² vezes y². No último vídeo, as constantes estavam misturadas. Vimos também as nossas equações diferenciais e como elas poderiam ser escritas. Bom, vimos no último vídeo que elas poderiam ser escritas como: d/dx vezes Ψ = 0. Se você tirar a derivada de Ψ em relação a x, ela deve ser igual a tudo que a gente já viu ali, que era 3x² mais y, etc. A solução dessa nossa equação é Ψ = C, então, podemos dizer que Ψ, que é x³y mais 1/2 vezes x²y², é igual a C. Tínhamos uma equação que não era exata, e multiplicamos por um fator integrante. Depois disso, vimos que a equação é exata. Também vimos que a solução de Ψ é igual a C. Acho que eu já falei isso tantas vezes que você já deve estar decorando... Por enquanto, é isso. Conversamos mais no próximo vídeo!