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Equações diferenciais
Curso: Equações diferenciais > Unidade 1
Lição 7: Equações exatas e fatores integrantesFatores integrantes 2
Agora que já fizemos a equação exata, vamos resolvê-la! Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Gostaria de fazer uma correção: Emapresenta-se (3xy + y^2)(x^2 + xy)y' = 0 como sendo a equação do video anterior. Porém, a equação anteriormente apresentada foi: (3xy + y^2) + (x^2 + xy)y' = 0. Confere? 0:04(2 votos)
- Emapresenta-se a derivada parcial em relação a y de (3.x^2.y + y^2) como sendo (3x^2 + 2.x.y). 1:56
A derivada parcial em relação a y de (3.x^2.y + y^2) não é (3x^2 + 2.y)?
Desta forma, diferentemente do que foi concluído em, as derivadas parciais não são iguais. Confere? 2:20(1 voto)- Como o fator integrante do video anterior era 'x', o que faltou foi a multiplicação x(3xy+y²)=(3x²y+xy²), com isso a derivada parcial em relação a 'y' fica 3x²+2xy. Espero ter ajudado.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA14C No último vídeo, nós vimos
uma equação diferencial que era: 3xy mais y², vezes x² mais xy, vezes y', tudo isso igual a 0. Também vimos My = 3x + 2y, que era diferente de
Nx = 2x + y. E essa equação pareceu ser exata, mas, quando tiramos a derivada
parcial dessa expressão, que chamávamos de
M em relação a y e vimos que foi diferente de
N em relação a x, nós ficamos com uma pulga
atrás da orelha. A partir disso,
nos questionamos: "O que aconteceria se multiplicássemos
os dois lados da equação por uma função
que a tornaria exata?". No último vídeo,
acabamos resolvendo. Multiplicamos os dois
lados da equação por μ(x), que era igual a x. Fazendo isso, teríamos uma
equação diferencial exata. Vamos fazer isso agora,
vamos resolver esse problema. Vamos multiplicar os dois lados
da nossa equação por μ. Então, fazendo isso, vou fazer aqui com
uma cor diferente, eu teria: 3x²y mais y², mais x³ mais x²y, isso vezes y',
e tudo igual a 0. Bom, só para ter certeza, vamos conferir se a nossa
equação diferencial é exata. Vamos lá,
temos aqui: 3x² mais 2xy. Então, 3x² mais 2xy seria a nossa primeira parcial. E aqui teríamos: 3x² mais 2xy. As nossas parciais são iguais, então, podemos marcar
"parciais iguais". Temos uma equação exata agora. Tudo que nós fizemos
não vai alterar a solução dessa nossa equação. Vamos resolver. Como fazemos isso? Primeiro, temos que ver a parcial
de Ψ em relação a x. Então, Ψx é igual a 3x²y mais xy². Vamos tirar a nossa antiderivada. Então, temos a derivada de Ψ. Temos Ψ = x³y mais 1/2 vezes x² vezes y². Esse é Ψ,
uma função de xy. Então, quando você tira
a derivada parcial em relação a x, você pode ter perdido
alguma função que é somente função de y. Bom, em vez de "mais C", eu vou escrever isto aqui
como "mais h(y)", que é uma função qualquer de y. Ainda não acabamos. Precisamos descobrir quem é h(y). Então, vamos fazer isso. Qual é a derivada parcial
da expressão em relação a y? Vamos fazer isso aqui embaixo,
com uma outra cor. Então, eu tenho Ψ em relação a y vai ser igual a x³
mais x²y mais h'(y). Isso deve ser igual
ao nosso novo M. Bom, que é então... Vamos fazer aqui. ...que é então x³
mais x²y... Vamos arrumar isso. ...x³ mais x²y. Bom, feito isso, vamos simplificar. Fazemos x³ com x³ e x²y com x²y. Então, quando fazemos isso, ficamos com h'(y) como sendo igual a zero, ou h(y) = C. Não existe y, apenas existe
uma constante. Então, o nosso Ψ vai ser igual a: x³y mais 1/2 vezes x² vezes y². No último vídeo, as constantes
estavam misturadas. Vimos também as nossas
equações diferenciais e como elas poderiam
ser escritas. Bom, vimos no último vídeo que elas poderiam
ser escritas como: d/dx vezes Ψ = 0. Se você tirar a derivada de Ψ
em relação a x, ela deve ser igual a tudo
que a gente já viu ali, que era 3x² mais y, etc. A solução dessa nossa
equação é Ψ = C, então, podemos dizer que Ψ, que é x³y mais 1/2 vezes x²y², é igual a C. Tínhamos uma equação
que não era exata, e multiplicamos por um fator integrante. Depois disso, vimos que
a equação é exata. Também vimos que a solução
de Ψ é igual a C. Acho que eu já falei isso
tantas vezes que você já deve estar decorando... Por enquanto, é isso. Conversamos mais no próximo vídeo!