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Exemplo solucionado: Lei de resfriamento de Newton

A função geral da Lei de resfriamento de Newton é T=Ce⁻ᵏᵗ+Tₐ. Neste vídeo, resolvemos um problema que envolve o resfriamento de um bolo que acabou de ser assado!

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Transcrição de vídeo

RKA2G - E aí, pessoal! Nesta aula a gente vai aplicar, de fato, a lei de resfriamento de Newton. Eu vou chamar de T (maiúsculo) a temperatura em graus Celsius e de "t" (minúsculo) o tempo em minutos. Vamos dizer que a taxa de variação vai ser proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. E eu já vou explicar o porquê deste sinal negativo antes da constante. Olhando para este sinal negativo, temos que considerar dois casos. O primeiro caso é quando a temperatura do objeto é maior que a temperatura do ambiente. Isso faz com que esta diferença seja positiva. Como temos um sinal negativo antes da constante, a taxa de variação vai ser negativa. Ou seja, a temperatura tem um decréscimo. Já no segundo caso, temos que considerar que a temperatura do objeto é menor do que a temperatura do ambiente. E, como temos um sinal negativo aqui, vamos ter que a taxa de variação vai ser positiva. Isso porque esta diferença aqui vai ser negativa. E, como temos um sinal negativo antes da constante, acaba que a taxa de variação vai aumentar. Ou seja, as coisas se aquecem. Nós já vimos esta equação diferencial em vídeos passados e também já vimos uma solução geral para ela, porque o que importa, de fato, é uma solução geral. Então, vamos aplicar isso. Vamos supor que colocamos algo bem quente em uma sala ambiente, como, por exemplo, uma tigela de sopa que você coloca na cozinha. Eu vou considerar somente o caso onde a temperatura do objeto vai ser maior ou igual à temperatura do ambiente. Naquela situação, a temperatura se resumia em função do tempo. É o que eu vou escrever aqui. T(t) vai ser igual a C vezes "e" elevado a -kt, mais a temperatura ambiente. Esta era a situação geral. Vamos ver um exemplo onde a temperatura ambiente vai ser igual a 20 ºC. Eu só vou colocar outra cor aqui. Vou colocar aqui que a temperatura ambiente vai ser igual a 20 ºC. Eu estou supondo que essa temperatura ambiente não vai mudar quando colocarmos a tigela de sopa, porque esta sala é grande o suficiente para, quando eu colocar a tigela, a temperatura não mudar. Assim que eu coloquei a tigela de sopa, ela vai estar com uma temperatura de 80 ºC. Então, eu vou escrever que T(0) vai ser igual a 80 ºC. Passando-se dois minutos, eu vou dizer que essa temperatura teve uma queda. Então, vou colocar aqui: T(2), passando-se 2 minutos, é igual a 60 ºC. Ou seja, passando-se dois minutos, eu vou ter T(2) = 60 ºC. Isso significa que eu coloquei a tigela de sopa, inicialmente, a 80 ºC. Passando-se 2 minutos, essa temperatura caiu para 60 ºC. O que eu quero saber é quantos minutos vai levar para essa tigela de sopa resfriar até 40 ºC. E eu vou escrever isso aqui. Quantos minutos levaria para resfriar a 40 ºC? O que eu quero saber é o seguinte: você colocou a tigela de sopa, inicialmente, a 80 ºC. Quantos minutos ela vai levar para resfriar até 40 ºC? Eu sugiro que você dê uma pequena pausa no vídeo e tente resolver. Para descobrir isto, vamos ter que utilizar estas informações na situação geral para descobrir as constantes C e "k". Descobrindo as constantes C e "k", finalmente vamos conseguir responder à pergunta. Então, vamos substituir inicialmente a temperatura ambiente igual a 20 ºC. É o que eu vou fazer aqui, agora. E vamos utilizar o fato de que T(0) é igual a 80 ºC e eu vou substituir isso na situação geral. Vou colocar aqui: T(0) = 80. E quando substituímos zero no lugar do tempo, este expoente vai dar zero. E, como sabemos, todo número elevado a zero é 1. Então, isto aqui vai acabar sendo 1. Ou seja, vamos ficar somente com C + 20. Vou colocar aqui: igual a C + 20 da temperatura ambiente. Agora chegamos a uma equação. E eu vou fazer o seguinte: vou subtrair ambos os membros por 20. Tirando 20 aqui, vou tirar 20 aqui, também. Do lado esquerdo, vamos ficar com 60 igual à constante C. Então, já determinamos a primeira constante, que é a constante C. Eu vou substituir o valor da constante C na situação geral e vamos ter aqui: T(t) igual a 60, vezes "e" elevado a -kt, mais 20 da temperatura ambiente. Agora temos que utilizar a segunda informação, que é T(2) = 60 ºC e vamos substituir isso na situação geral. Substituindo, ficamos com: 60 é igual a 60, vezes "e" elevado a -kt. Como o tempo vale 2, eu vou substituir aqui. Vou voltar aqui e vou colocar -2k. Elevado a -2k, mais 20 da temperatura ambiente. Eu vou subtrair ambos os membros da equação por 20 E aí eu fico com: 40 é igual a 60, vezes "e" elevado -2k. E vou dividir ambos os membros da equação por 60. E fico com: 2/3 é igual a "e" elevado a -2k. Aqui do lado esquerdo eu já simplifiquei. Vou aplicar o logaritmo natural em ambos os membros da equação e ficamos com: ln de 2/3 igual a ln de "e" elevado a -2k. Aqui eu aplico a propriedade de logaritmo e eu vou ficar somente com -2k do lado direito. Então: ln de 2/3 é igual a -2k. Dividindo ambos os membros da equação por -2 (e já vou ajeitar também), vamos chegar a um valor de "k" igual a -1/2ln de 2/3. Este é o valor da segunda constante que a gente estava procurando. Então, agora vamos utilizar esta constante e também a constante C, na situação geral, para responder à pergunta. É o que eu vou fazer agora. Vou só mudar a cor, rapidinho. Vamos colocar: T(t) igual a 60 vezes "e" elevado a 1/2ln de 2/3, isso tudo vezes o tempo. Aqui ficou positivo porque aqui era negativo e a constante aqui deu negativo. Por isso o expoente deu positivo. Isto mais a temperatura ambiente. Agora só vou colocar 40 graus no lugar de T(t), ou seja, na situação geral, e vamos ficar com: 40 é igual a 60 vezes "e" elevado a 1/2ln de 2/3, vezes o tempo, mais a temperatura ambiente. E eu preciso somente resolver esta equação. Eu vou subtrair 20 em ambos os membros da equação e vou ficar com: 20 é igual a 60 vezes "e" elevado a 1/2ln de 2/3 vezes o tempo. E eu vou dividir ambos os membros da equação por 60 e já vou simplificar do lado esquerdo. Então: 1/3 é igual a "e" elevado a 1/2ln de 2/3 vezes o tempo. Eu vou aplicar ln dos dois lados, logaritmo natural em ambos os membros. Então, ln de 1/3 é igual a ln de "e" elevado a 1/2ln de 2/3, vezes o tempo. A mesma propriedade que eu usei aqui, eu vou usar do lado direito da equação. Vou ficar com: ln de 1/3 é igual a 1/2ln de 2/3 vezes o tempo. Agora podemos dividir ambos os membros da equação por 1/2ln de 2/3. E chegaremos em um tempo. Tempo igual (eu já vou ajeitar também) 2ln de 1/3, dividido por ln de 2/3. Agora, para determinar este tempo, precisamos utilizar uma calculadora. Eu vou utilizar a calculadora do Google para calcular esse tempo. Colocando essa expressão na calculadora do Google, chegamos a um tempo de aproximadamente 5,42 minutos. Vou voltar lá para o esqueminha e vou colocar que isto vai ser aproximadamente 5,42 minutos. Finalmente, descobrimos quantos minutos a tigela de sopa vai levar para esfriar a 40 ºC. É isso aí, pessoal. Até o próximo vídeo!