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Modelos exponenciais e equações diferenciais (Parte 1)

Presumir que uma grandeza cresça proporcionalmente ao seu tamanho resulta na equação geral dy/dx=ky. Resolvê-la com a separação de variáveis resulta na função exponencial geral y=Ceᵏˣ.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Neste vídeo gostaria de discutir o modelo do crescimento populacional. Você já deve ter visto modelos de crescimentos populacionais de bactérias, de insetos ou mesmo da população em geral, dados através de uma função exponencial. Vamos chamar de "P" a população, que pode ser a população de qualquer item desses que eu citei, e vamos chamar de t, dado em dias, o tempo que leva para essa população crescer. O modelo que nós podemos dizer é que a taxa de variação da população, ou seja, dP sobre dt, é uma constante vezes a própria população, ou seja, a taxa de crescimento da população é diretamente proporcional ao tamanho da população. Isso é coerente dizermos. Lembrando que dP sobre dt é o crescimento instantâneo, ou seja, o limite para um determinado instante. E aqui é k vezes a população. Então essa taxa de crescimento está colocada desse lado em função do tempo, dP sobre dt, e desse lado através de uma constante vezes a população. Como é que a gente pode separar isso? Nós podemos dividir ambos os lados por P e multiplicamos ambos os lados por dt. Ora, essa taxa dP sobre dt é uma taxa de variação. Essa multiplicação, embora seja algébrica, na realidade está colocando a nossa equação diferencial de forma que nós podemos escrever (1 sobre P) dp, ou seja, desse lado depende apenas de P e desse lado é uma constante vezes dt. Neste caso, agora, nós podemos integrar ambos os lados. Integrando ambos os lados nós vamos ter o logaritmo natural do modo de P mais uma constante qualquer igual a k vezes t mais uma constante c₁. Eu preciso colocar as constantes de ambos os lados, uma vez que a constante vai passar subtraindo e se tornará uma outra constante qualquer. Agora nós temos só uma equação na forma logarítmica, ou seja, qual é a solução? Nós temos que o módulo de P que vai ser igual a "e" elevado a tudo isso aqui, ou seja, (k vezes t mais a constante c₁). Ora, veja: se a população é positiva, o módulo de P vai ser um valor absoluto positivo. Então ficamos com P igual a "e" elevado a (k vezes t mais c₁). Ora, mas o que é "e" elevado a (kt mais c₁)? "e" elevado a (kt) vezes "e" elevado a c₁. "e" é um número, c₁ é uma constante. Portanto isso aqui a gente pode substituir por uma constante c. Nosso modelo populacional fica sendo igual a uma constante c vezes "e" elevado a uma constante vezes o tempo, ou seja, nós temos a população representada através de uma função exponencial, pois normalmente as populações crescem dessa forma. Então, nos próximos vídeos, vamos analisar outras soluções, outros modelos diferentes para as soluções particulares onde o crescimento é diferente. Esse tipo de crescimento você já viu no Ensino Médio e é bastante familiar para você. Agora você viu de onde ele pode ter vindo, ou seja, de uma equação diferencial onde nós temos a variação da população pelo tempo em função de uma constante vezes a população e depois, integrando, nós vamos ter a população em uma função exponencial. Embora o limite aqui seja um crescimento instantâneo, quando separamos em duas equações podemos integrá-las e obter a nossa representação do crescimento populacional através de uma função exponencial.