Lei de Resfriamento de Newton

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos pensar em algo que podemos modelar com equações diferenciais vamos dizer que nós temos um objeto aqui e que a temperatura dele possa ser mais quente ou mais fria que a temperatura ambiente ou seja dois cenários possíveis e o que queremos saber nessa aula é o com rápido ele esfria ou ele esquenta e para fazer isso vamos pensar do jeito que Newton pensou e é o que chamamos de lei de resfriamento de Newton basicamente a lei de resfriamento de Newton diz que a variação da temperatura em relação ao tempo tem que ser proporcional à diferença entre a temperatura do objeto EA temperatura do ambiente e claro se uma coisa é muito mais quente do que a temperatura ambiente a taxa de e deve ser bem inclinada com rápido a redução da temperatura mas sim uma coisa é muito mas muito mais fria que a temperatura ambiente sua temperatura deve subir bem rapidamente e se essas temperaturas são iguais significa que não vai ter uma variação e uma temperatura negativa significa uma mudança instantânea negativa e como podemos ter essa variação negativa no caso onde a temperatura do objeto é o maior que a temperatura ambiente para isso acontecer esse cá tem que ser negativo e se você não gosta de um carro Negativo você pode colocar um sinal de negativo aqui antes e aí o valor do Ka será positivo isso até faz sentido agora né porque se a temperatura do objeto é maior do que a temperatura ambiente Isso aqui vai ser positivo e a nossa taxa de variação é negativa já que está resfriando agora se a temperatura do objeto por menor do que a temperatura ambiente Então essa diferença vai dar negativa e como tenho menos aqui essa parte vai ficar positiva isso claro assumindo que o é um valor Positivo e aí a nossa taxa de variação vai ser positiva o que está indicando que a nossa temperatura está aumentando eu espero que isso tenha feito algum sentido tá basicamente a nossa constante cá pode depender do calor específico do objeto o quanto essa superfície está disposta a esse calor ou a qualquer outra coisa OK agora que entendemos isso Será que nós conseguimos generalizar a solução dessa equação diferencial eu sugiro que você pode o vídeo e tente resolver isso sozinho eu vou te dar só uma dica essa é uma equação diferencial separável Então vamos lá vamos resolver isso junto nós temos para fazer aqui é colocar todos os textos maiúsculos de um lado e o de tezinho do outro claro isso pode parecer um pouco confuso mas é porque estamos utilizando as mesmas letras né o tema maiúsculo é da temperatura e o ter minúsculo é do tempo então como podemos manipular isso aqui algebricamente a primeira coisa que podemos fazer é dividir ambos os membros dessa equação por ter menos pa e claro eu estou considerando que essa temperatura ambiente não varie com o tempo portanto ela é uma constante ou seja estamos considerando que a sala é grande o suficiente para que esse objeto não mude a temperatura do ambiente é então dividindo ambos os membros da equação por isso aqui e aí vamos ficar com u sobre ter menos pa que multiplica de T maiúsculo sobre dtm no músculo que é igual a menos que bom e se multiplicarmos ambos os membros dessa equação o de tezinho nós cancelamos esse de T com esse E aí ficamos com um sobre ter menos que a vezes de T maiúsculo que é igual a menos cá de te minúsculo e o que podemos fazer agora nós já vimos equações diferenciais separáveis que nós podemos integrar ambos os membros dessa equação EA integral disso aqui vai ser o logaritmo natural do valor absoluto do que temos no denominador você pode utilizar substituição se quiser enfim nós temos várias aulas a respeito disso então vamos ficar com l e n do módulo DT - te aqui é igual a integral disso aqui nós podemos resolver colocando esse menos cá para frente da integral já que ele é uma constante E aí vamos ficar com é de um de ti que dá ter E aí vamos ficar com - KT mas uma constante ser aqui e aplicando a definição de logaritmo nós vamos pegar é e elevar a isso e a resposta tem que ser ter menos terá ou seja o módulo de ter menos te a = é elevado a menos Cadê mais ser e claro isso vai ser igual a é elevado a - KT que multiplica é elevado a ser Ou seja eu apliquei apenas uma propriedade de potência aqui e como é elevado a ser é uma constante eu posso chamar isso aqui de ser um isso aqui de ser um aqui ser um e com isso toda essa parte vai ser uma única constante ser ou seja vai ser a mesma coisa esse e multiplica é elevado a - KT e aqui já estamos achando ao é cedo com o que fizemos quando modelamos população então ficamos com módulo de ter menos pa igual a ser que multiplica é elevado a - KT e olhando para temperatura da nossa xícara e a temperatura ambiente Vamos pensar no cenário Aonde a temperatura desse objeto é o maior ou igual a temperatura do ambiente essa cenário digamos Aonde a temperatura do objeto é mais quente quando isso acontece o valor dessa diferença é positiva ou é igual a zero e por isso não precisamos desse módulo E aí sem o módulo eu posso tomar te a a ambos os membros da equação e escrever a temperatura como uma função do tempo ficando com a temperatura em função do tempo T = constantes e que multiplica é elevado a menos caráter mas terá então O que é a solução geral no caso em que a temperatura do objeto é maior ou igual a temperatura ambiente no nosso caso a xícara seria mais quente do que a temperatura ambiente agora no caso Aonde a temperatura do objeto é menor do que a temperatura do ambiente Isso aqui vai ser negativo e como módulo é sempre um valor positivo Nós temos que colocar um menos aqui antes do módulo para garantir que essa diferença seja positiva e aí vamos ficar como ter a menos ter já que multiplicamos a diferença for - 1 = ser que multiplica é elevado a - KT E aí somando ter a ambos os membros dessa equação vamos ficar com o te como uma função do tempo e eu já posso multiplicar ambos os membros da equação por menos um também ficando com a temperatura em é o tempo que é igual a temperatura ambiente menos cê que multiplica é elevado a menos Cadê só para não criar uma confusão aqui eu subtrair ambos os membros da equação por menos terá mais como esse é negativo eu já multiplica Em ambos os membros dela por menos um invertendo o sinal dessas duas coisas então esse é o caso Aonde a temperatura ambiente é mais fria Então essas duas são as soluções Gerais dessa equação diferencial que vimos baseada na lei de resfriamento de Newton E eu espero que as aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal