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Transcrição de vídeo

e aí pessoal nessa aula eu vou apresentar para vocês a idéia de equações diferenciais de primeira ordem homogênea eu escrevi aqui equação o diferencial o hoje meia e vamos aprender depois que mesmo dentro das equações diferenciais homogêneas existem diferentes tipos e essas aqui são chamadas de equações homogênea e lineares mas que significa uma equação diferencial o gênio eu vou mostrar pra vocês aqui primeiro vou colocar uma equação aqui y dx igual a uma função fd x y e vamos aprender a fazer uma substituição tribunal de ética eu preciso aprender a escrever a função fx y de outra maneira ou seja tem que escrever como uma fração de y sobre x não vou escrever aqui ao lado de y deixes igual a uma função que o chamado df são de y sobre x então basicamente para fazermos essa substituição a gente vai precisar mexer algebricamente nessa função aqui do lado direito pra colocar dessa forma eu vou poder fazer a substituição que eu tô falando mas antes de fazer a substituição eu vou mexer genericamente na função então vamos dizer que eu tenha a função aqui que vai ser de y dx igual à x mais y sobre x e o que eu tenho que fazer é mexer algebricamente nessa função aqui então eu vou fazer aqui ao lado a escrever assim de y e x igual aqui eu vou fazer o seguinte eu vou separar é essa fração aqui então eu vou colocar x sobre x mais y sobre x então eu vou colocar aqui ao lado x sobre x mas y sobre x e aqui vai dar x sobre x vai dar um então eu vou colocar aqui ao lado que de y dx é igual ào mas y sobre x e aqui está a grande sacada porque eu disse para vocês que a gente tinha que mexer genericamente nessa função para chegar nessa forma e foi o que fizemos aqui até chegar à aqui e sou sobre fiz porque agora eu vou fazer uma substituição então a minha substituição vai ser eu vou chamar de ver v vai ser igual a epsilon sobre x e multiplicando ambos os membros da equação porches chegamos ao valor de y y igual a vx1 e derivando isso daqui com a regra do produto de derivados ficam buscou y deixe-se igual a ver mas x dever de x e o que eu quero que vocês percebam é que aqui temos de y dx11 aqui também então isso daqui tem que ser igual a essa parte aqui e eu só vou fazer a substituição v é igual a y sobre x aqui então vamos ficar co v mas x o dvd x vai ser igual a 1 o 1 mas vê agora podemos subtrair em ambos os membros da equação eu vou cortar os dois lados e eu vou dividir os ambos os membros porches então chegamos a dever de x igual a 1 sobre o xv e multiplicando ambos os menus da equação por 2 x 1 chegamos com dever igual a 1 sobre x o sobre x the xx finalmente chegamos numa equação separável eu vou integrar aqui e aqui e integrando eu vou integrar aqui e aqui também integrando temos que a integral de dever mais eu ver ea integral de um sobre x mas cln do módulo de x então temos vê igual a ln do módulo de xixi mas há constantes e outra coisa que eu quero que vocês percebam é que resolvemos isso daqui pra ver e x mas eu quero saber a resposta em função de x e y então eu vou colocar aqui no lugar do v eu vou voltar com a minha substituição e som sobre x então voltando pra variável ficamos com y sobre x igual a ele n do módulo de x + c e multiplicando ambos os membros da equação portx vamos te y igual à x ln do módulo de x mas ser e aplicando a distributiva aqui ficamos com y é igual ashes ln do módulo de x mas ce x então essa aqui é nossa solução finalmente resolvemos a nossa equação aqui e essa substituição é muito interessante para toda vez que você conseguir colocar a sua função dessa forma e você vai poder substituir a variável que depois é só retornar à variável e chegamos à nossa solução o que o objetivo é transformar a equação em uma equação separável para poder integrar em ambos os lados e claro se você também tiver condições iniciais você ainda pode substituir aqui pra achar a constantes e enfim pessoal até o próximo vídeo