Tempo atual:0:00Duração total:7:21
0 pontos de energia
Studying for a test? Prepare with these 8 lessons on Equações diferenciais de primeira ordem.
See 8 lessons
Transcrição de vídeo
Agora eu vou apresentar a ideia de equação diferencial homogênea de equação diferencial homogênea Homogêneo é a mesma palavra que usamos para o leite quando dizemos que todos aqueles pedaços de gordura foram espalhados. Eu não vejo a conexão com nossa aplicação aqui. Equação diferencial homogênea. Vamos aprender depois que mesmo dentro de equações diferenciais existem tipos diferentes de equações diferenciais homogêneas. Estas são chamadas equações diferenciais lineares homogêneas, mas elas significam algo bem diferente. De qualquer forma, para este propósito, vou te mostrar equações diferenciais homogêneas. E estamos lidando com equações de primeira ordem. O que uma equação diferencial homogêneas significa? Digamos que eu tenha uma equação regular de primeira ordem que pudesse ser escrita desta forma. dy dx é igual a uma função de x e y. E digamos que tentamos fazer isto e não é separável, não é exato. O que aprendemos é que se esta for uma equação diferencial homogênea, podemos fazer uma substituição de varíaveis. E esta substituição de variável permite que esta equação se tornar em uma separável. Mas antes eu preciso te mostrar que isto significa ser homogênea. Bem, se eu puder manipular este lado direito desta equação algebricamente de forma que eu possa re-escrevê-la. Se ao invés de uma função x e y, eu puder re-escrever esta equação diferencial de forma que dy dx seja igual a alguma função vamos chamá-la de G, ou vamos chamá-la de F maiúsculo. Se eu puder re-escrevê-la algebricamente, de forma que seja uma função de y dividido por x, eu posso fazer uma substituição de variáveis que faz com que ela seja separável. No momento, tudo parece confuso. Vou te mostrar um exemplo. Digamos -- Vou te mostrar os exemplos, mostrar alguns itens e aí vamos fazer as substituições. Digamos que a minha equação diferencial é a derivada do y em relação a x é igual a x mais y sobre x. Se você quiser, você pode tentar fazer isto separável, mas não é tão fácil de se resolver. Ou pelo menos, estou olhando e não parece muito trivial de se resolver. E como vemos aqui, temos a derivada. É igual a alguma função de x e y. Minha pergunta para você é, posso apenas re-escrever isto algebricamente para que se torne uma função de x sobre y? Claro, se apenas dividirmos ambos os termos superiores por x. Isto é o mesmo que x sobre x mais y sobre x. Esta equação é a mesma coisa que dy sobre dx é igual a isto. dx é igual a isto. O que é o mesmo que re-escrever a equação inteira -- Vou mudar de cor arbitrariamente -- como isto -- dy sobre dx é igual a x dividido por x é igual a um, se supormos que x não é igual a zero Mais y sobre x. Você está provavelmente pensando no que eu quiz dizer com a função de y sobre x? Bem, você pode vê-la aqui. Quando eu manipulei a equação algebricamente, eu obtive um mais y sobre x. Se eu dissesse que y sobre x é igual a alguma terceira variável, isto é apenas uma função da terceira variável. E na verdade, vou fazer isso agora. Vamos fazer a substituição de y sobre x. Digamos que v -- vou escrever v em uma cor diferente -- digamos que v é igual a y sobre x. Uma outra forma, se você apenas multiplicar os dois lados por x você poderia escrever que y é igual a xv. E vamos substituir v por y sobre x, mas também vamos ter que substituir dy sobre dx. Vamos calcular o que é isto em termos das derivadas de v. A derivada de y em relação a x é igual a -- qual é a derivada disto com relação a x? Bem, se supormos que v é também uma função de x, vamos apenas usar a regra do produto. A derivada de x é um vezes v mais x vezes a derivada de v em relação a x. E agora, podemos substituir isto e isto de volta dentro desta equação, e obtemos -- dy sobre dx, que é igual a isto. Obtemos v mais x dv dx, a derivada em relação a x é igual a -- isto é apenas o lado esquerdo -- é igual a um mais y sobre x. Mas estamos fazendo esta substituição que v é igual a y sobre x. Portanto vamos fazer um mais v. E agora, isto dever ser bem direto. Vejamos, podemos subtrair v dos dois lados desta equação E o que temos de sobra? Temos x dv dx é igual a um. Vamos dividir os dois lados por x. E obtemos a derivada de v em relação a x é igual a um sobre x. Deve estar começando a ficar um pouco mais claro qual é a solução aqui, mas vamos prosseguir. Se multiplicarmos os dois lados por dx, obtemos dv é igual a um sobre x vezes dx. Agora, pegamos a anti-derivada dos dois lados, integramos os dois lados. E ficamos com v é igual a este log natural do valor absoluto de x mais c. E tipo que terminamos, mas seria bom obter esta solução em termos de apenas y e x e não ter esta terceira variável v aqui porque o nosso problema original era somente em termos de y e x. Vamos fazer isto. O que era v? Fizemos a substituição que v é igual a y sobre x. Portanto vamos substituir ao reverso, Portanto obtemos y sobre x é igual ao log natural de x mais c, alguma constante. Multiplique os dois lados vezes x. E você obtem y é igual a x vezes o log natural de x mais c. E terminamos. Resolvemos aquela equação diferencial que parecia inseparável ao reconhecer que ela era homogênea, e fazendo aquela substituição de variável v é igual a y sobre x o que a tornou em uma equação separável em termos de v. E a resolvemos. E aí fizemos a substituição reversa e obtivemos a solução da equação diferencial. Você pode fazer a verificação, que y é igual a x log natural do valor absolute de x mais c. Oh, na verdade, eu cometi um erro. y sobre x é igual ao log natural de x mais c. Se eu multiplicar ambos os lados desta equação vezes x, qual é a solução? Não é apenas x log natural de x. Eu tenho que multiplicar isto vezes x também, certo? Propriedade distributiva - este foi um erro de amador. A solução correta é y é igual ao x log natural do valos absoluto de x mais x vezes c. E se você quiser calcular c, eu teria que te dar algumas condições iniciais. E você poderia resolver para c. E esta seria a solução particular, para esta equação diferencial. No próximo vídeo, eu vou resolver mais destes problems. Até então! Legendado por: Márcia Yu