Tempo atual:0:00Duração total:8:22
0 pontos de energia
Studying for a test? Prepare with these 8 lessons on Equações diferenciais de primeira ordem.
See 8 lessons
Transcrição de vídeo
... Vamos fazer mais uma equação diferencial homogênea, ou equação diferencial homogênea de primeira ordem, para diferenciar ela das equações diferenciais homogêneas e lineares que faremos depois. Mas de qualquer maneira, o problema que nós temos aqui. É a derivada de y com respeito a x é igual a - esse x parece um y - é igual a x ao quadrado mais 3 y ao quadrado. Eu estou escrevendo um pouco pequeno, de modo que eu não fique sem espaço. Dividido por 2 x y. Então, em todas essas equações homogêneas - e obviamente nós não sabemos ainda que ela é homogênea. Então nós temos que tentar escrevê-la como uma função de y dividido por x. Então parece que podemos fazer isso, se nós dividirmos a parte de cima e a parte de baixo por x quadrado. Então, se nós apenas multiplicarmos - deixa eu fazer isso com uma cor diferente - 1 sobre x quadrado, ou x elevado a 2 negativo, sobre 1 sobre x quadrado. Estamos essencialmente apenas multiplicando por 1. Então, isto é igual ao que? 1 mais 3 y quadrado sobre x quadrado dividido por 2 - se você divide x, divide por x ao quadrado, você deve obter um 1 sobre x - então 2 vezes y sobre x. Ou nós poderíamos apenas reescrever a coisa toda, e isso é apenas igual a 1 mais 3 y sobre x quadrado dividido por 2 vezes y sobre x Então sim, esta é uma equação homogênea. Porque nós fomos capazes de escrevê-la como uma função de y dividido por x. Então agora nós podemos fazer a substituição com v. E espero que isto esteja começando a se tornar um pouco de natureza secundária para você. Agora nós podemos fazer a substituição de que v é igual a y sobre x, ou outro jeito de escrever isso é que y é igual a x v. E então, claro, a derivada de y com respeito a x, ou se nós tiramos a derivada com respeito a x dos dois lados disso, isso é igual à derivada de x é 1 vezes v, isso é apenas a regra do produto, mais x vezes a derivada de v com respeito a x. E agora, nós podemos substituir a derivada de y com respeito a x é apenas isso. E então o lado direito da equação é isto. Mas nós podemos substituir v por y sobre x. Então vamos fazer isso. E nós temos v mais x. Ao invés de dv x, eu vou escrever v linha por enquanto, só para que nós não usemos muito espaço. v linha é igual a 1 mais 3 v quadrado, nós estamos fazendo a substituição v é igual a y sobre x. ... Tudo isso sobre 2 v. ... Agora, vamos ver o que podemos fazer. Isso é onde nós colocamos nosso chapéu da álgebra e tentamos simplificar isso até que se torne uma equação separável em v. Então vamos fazer isso. Vamos multiplicar ambos os lados dessa equação por 2 v. Então nós vamos ter 2 v quadrado mais 2 x v v linha - 2 v vezes x, sim, isso é 2 x v v linha - é igual a 1 mais 3 v quadrado. Agora vamos ver, vamos subtrair 2 v quadrado de ambos os lados disso. E agora nós vamos ficar com 2 x v v linha é igual a 1 mais - vamos ver, nós estamos subtraindo 2 v quadrado de ambos os lados. Então nós vamos ficar com 1 mais v quadrado aqui, certo? 3 v quadrado menos 2 v quadrado é apenas v quadrado. e vamos ver, nós queremos que isso seja separável, então vamos colocar todos os v's no lado esquerdo. Então nós temos 2 x v v linha dividido por 1 mais v quadrado é igual a 1. E vamos dividir ambos os lados por x. Então nós temos os x's no outro lado. Então nós temos 2 v - e agora eu vou voltar para a outra notação. Ao invés de v linha, eu vou escrever dv dx. 2 v vezes a derivada de v com respeito a x dividido por 1 mais v ao quadrado é igual a - eu estou dividindo ambos os lados por x, note que eu não escrevi o x nesse lado - então isso é igual a 1 sobre x. E então, se nós apenas multiplicarmos ambos os lados disso vezes dx, nós teremos separado as duas variáveis e podemos integrar ambos os lados Então vamos fazer isto. Vamos aqui para cima. Eu vou mudar para uma cor diferente, para que você saiba que eu estou trabalhando em uma coluna diferente agora. Então multiplicamos ambos os lados por dx. Eu tenho 2 v sobre 1 mais v quadrado dv é igual a 1 sobre x dx E agora nós podemos integrar ambos os lados dessa equação. Essa é uma equação separável em termos de v e x. E qual é a integral disso? A princípio, você pode pensar, oh cara, isso é complicado. Isso é difícil, talvez algum tipo de função trigonométrica. Mas você vai ver que isso é um tipo de regra da cadeia reversa. Nós temos uma função aqui, 1 mais v ao quadrado. uma expressão aqui. E nós temos sua derivada logo aqui Logo, a antiderivada disso, e você pode fazer uma substituição se você quiser. Você pode dizer que u é igual a 1 mais v ao quadrado, então de é igual a 2v dv. E então, bem, você poderia acabar dizendo que a antiderivada é apenas o log nagural de u. Ou, nesse caso, a antiderivada disso é apenas o log natural de 1 mais v ao quadrado. Nós nem precisamos escrever um valor absoluto aqui. Porque isso sempre vai ser um valor positivo. Então o log natural de 1 mais v quadrado. Eu espero que eu não tenha te confundido. É assim que eu penso sobre isso. Eu digo, se eu tenho uma expressão, e eu tenho sua derivada multiplicada aqui, então eu posso apenas tirar a antiderivada de toda a expressão. E eu não tenho que me preocupar como que está dentro disso. Então se isso era um 1 sobre um x, ou 1 sobre u, é apenas o log natural disso. Então é assim que eu sabia que isso era a antiderivada E se você não acredita em mim, use a regra da cadeia e tire a derivada disso, você vai ententer. E espero, que isso vá fazer um pouco mais de sentido. Mas de qualquer maneira, esse é o lado esquerdo, e então isso é igual - bom, essa é fácil. Esse é o log natural, o valor absoluto de x. Nós poderíamos dizer, mais c, mas para que possamos simplificar isso um pouco, uma constante arbitrária c, nos poderíamos na verdade apenas escrever isso como o log natural do valor absoluto de uma constante c. Eu quero dizer, isso ainda é uma constante abritrária c. Então nós podemos reescrever toda essa equação como o log natural de 1 mais v ao quadrado é igual a - quando você soma logs naturais, você pode essencialmente apenas multiplicar os dois números que você está tirando o log natural - o log natural de, nos poderíamos dizer, o valor absoluto de c x. E logo o log natural disso é igual ao log natural disso. Nós poderíamos dizer que 1 mais v ao quadrado é igual a c x. E agora nós podemos dessubstituir isso. Então, nós sabemos que v é igual a y sobre x, então vamos fazer isso. Então nós temos 1 mais y sobre x quadrado é igual a c x. Deixe-me rolar isso para baixo um pouco. Vamos multiplicar ambos os lados dessa equação vezes x quadrado. Nos poderíamos reescrever isso como y quadrado sobre x quadrado. Nós poderíamos multiplicar ambos os lados por x quadrado, você vai ter x quadrado mais y quadrado é igual a c x ao cubo. E essencialmente terminamos. Se você quer colocar todos os termos de variáveis no lado esquerdo, nós poderíamos dizer que isso é igual a x quadrado mais y quadrado menos c x ao cubo é igual a 0. E essa função implicitamente definida, ou curva, ou o que quer que você chame isso, é a solução da nossa equação diferencial homogênea de primeira ordem original. Então aí está. Eu vejo você no próximo vídeo. E agora, nós vamos de fato fazer algo. Nós vamos começar a embarcar em equações diferenciais de ordens superiores. E de fato, essas são mais úteis, e em alguns casos, mais fáceis de resolver que a equação homogênea e a exata que nós temos feito até agora. Vejo você no próximo vídeo. ...