O modelo logístico de crescimento

RKA1JV - No vídeo passado, nós começamos a observar aqui um crescimento populacional. E começamos a estabelecer uma função temporal para o número de indivíduos em uma população. Nós chegamos à conclusão que a taxa de variação do número populacional em relação ao tempo seria proporcional ao número populacional. Por isso que a gente colocou aqui essa constante de proporcionalidade, multiplicando esse número populacional. E chegamos a essa equação diferencial. Ao resolver essa equação diferencial, nós chegamos a essa expressão aqui, ou seja, uma função temporal para o número de indivíduos em população. E essa função aqui indica para a gente que o número populacional, ou seja, o número de indivíduos em uma população tem um crescimento exponencial. Esboçando o gráfico dessa função, nós chegamos a algo mais ou menos parecido com isso. Aqui tendo o número de indivíduos, aqui o tempo. Essa função disse para a gente que, se nós temos aqui o número inicial de indivíduos em uma população, à medida que o tempo aumenta, o número de indivíduos nessa população vai aumentando exponencialmente sem ter um limite para esse crescimento. No entanto, quando nós observamos aqui as ideias de Malthus, Malthus disse que fatores climáticos, como a escassez de comida ou de água, ou outros fatores naturais, vão impedir que haja um crescimento infinito dessa população. Com isso, nós vamos ter um certo limite para esse número populacional. Ou seja, esse número populacional vai chegar até esse valor máximo aqui, nós vamos chamar esse número populacional máximo aqui de K. Ou seja, esse K indica o número de indivíduos máximos que pode ter em uma certa população. Porém, apesar de Malthus ter falado essa ideia, que vai ter um limite para esse crescimento populacional, nós podemos ter aqui uma certa oscilação. Uma oscilação em torno desse número populacional máximo, ou seja, é até possível que tenha um número maior aqui populacional. Mas pode vir catástrofes ou outros fatores ambientais que vão jogar novamente esse número populacional aqui para baixo. E esse número populacional está oscilando aqui em torno deste número máximo. Então, apesar dessa função aqui de crescimento exponencial ser uma função que expresse muito bem o crescimento populacional para pequenas populações, quando a gente tem uma população muito grande, ela não serve mais. A gente precisa aqui de uma outra função para descrever isso. Foi pensando nessas ideias de Malthus que P.F. Verhulst, não sei se estou acertando o nome dele, vamos considerar que estamos, conseguiu fazer uma alteração nessa função temporal e estabeleceu uma nova função que descreve bem melhor as ideias de Malthus. E é isso que a gente vai ver nesse vídeo. Verhulst partiu dessa mesma taxa de variação populacional no decorrer do tempo. Ele falou que ainda temos que, uma taxa de variação de população no decorrer do tempo vai ser igual a esse R, que é esse fator, essa constante de proporcionalidade, vezes "n". Só que aqui a gente teria outro termo que limitaria esse crescimento populacional. E quais são os fatores que limitam esse crescimento populacional? Como isso daqui é uma taxa de variação, no instante de tempo inicial, em que a gente ainda tem uma população muito pequena, isso aqui é válido. No entanto, quando a gente tem uma população muito grande, uma população que vai se aproximando do K, essa taxa de variação tem que tender a zero, para que a gente não continue tendo um crescimento populacional. Pensando nessas ideias, eu gostaria que você pausasse esse vídeo e tentasse estabelecer aqui uma relação matemática que estivesse de acordo com essas ideias. Ou seja, quando a gente tem um número populacional tendendo a zero, isso aqui seja válido. Mas quando o nosso número populacional tende a esse K, isso aqui tem que tender a zero. Para que a gente tenha uma expressão que faça sentido de acordo com essas necessidades, a gente precisa ter 1 aqui. Esse 1 porque quando a gente multiplicar isso pelo o que está aqui dentro, quando o "n" tende a zero, isso aqui tem que ser válido. A gente tem que multiplicar isso aqui por 1 e a gente vai subtrair com a nossa outra necessidade. Ou seja, quando ele "n" tender para K, isso aqui tem que ser zero. Para a gente ter isso aqui sendo zero, quando "n" tende a K, ou seja, quando "n" for muito próximo de K, a gente vai ter que ter 1 menos 1. E para que isso seja igual a 1, quando "n" tende a K, a gente vai ter que colocar aqui "n" sobre K. Por quê? Se você observar aqui, caso "n" seja muito, muito, muito menor que o K, a gente vai ter um número muito pequeno dividido por um número grande. Quando a gente tem um número muito pequeno dividido por um número grande, isso é algo muito próximo a zero. Então, vai sobrar aqui um número muito próximo de 1. Então, a gente vai ter isso daqui sendo válido para pequenas populações. A gente vai ter algo próximo a K dividido por K, e K dividido por K é igual 1. A gente vai ter algo muito próximo a 1 aqui ou menos, um número muito próximo a 1 é algo que tende a zero. A nossa taxa de crescimento populacional vai acabar tendendo a zero, podemos até escrever essas informações aqui. Quando "n" é muito, muito menor que K, temos que esse termo aqui, esse termo vai tender a 1. Agora quando "n" for muito próximo a K, quando "n" tender a K, o termo, esse termo 1 menos N/K vai tender a zero. Então, está aqui estabelecido a nossa expressão e que está de acordo com as ideias apresentadas aqui por Malthus. Aqui nós temos uma nova equação diferencial de acordo com as ideias Malthusianas. É interessante que essa equação aqui, apesar de a gente estar usando para crescimento populacional, ela é uma equação que se adequa a várias outras coisas. Inclusive, essa equação é chamada de equação diferencial logística. Aqui nós temos uma equação diferencial logística e que você pode ver uma equação com essa forma em diversos outros contextos. Mas aqui estamos trabalhando com o contexto de crescimento populacional, tudo bem? Claro, essa é uma equação diferencial separável que consegue resolver, não tão fácil quanto essa outra aqui, mas é possível resolver com uma certa facilidade também. Eu vou resolver com você essa equação no próximo vídeo. Mas, antes de resolver essa equação, é legal a gente interpretá-la fazendo uma análise gráfica. Então, vamos fazer isso, vamos plotar um gráfico aqui em que aqui a gente tem o nosso número populacional, e aqui no eixo "x", nós vamos ter o tempo. Então, à medida que tempo passa, o número populacional se altera. Vamos colocar tudo isso aqui nesse gráfico. E vamos fazer essa interpretação, tudo bem? O primeiro caso que nós vamos observar aqui é quando o nosso número populacional inicial é igual a zero. O que vai acontecer à medida que o tempo passa? Se nós não temos nenhum indivíduo naquela população, nós não temos população. Se a gente tem aqui o número populacional inicial igual a zero, o número populacional não vai aumentar no decorrer do tempo. Assim, a gente vai continuar tendo o número de indivíduos igual a zero. O que é impossível que alguém tenha filhos e não tem ninguém ali, não tem como ter novos indivíduos. À medida que o tempo passa, o nosso número populacional continua sendo igual a zero. Então, nós podemos dizer que o nosso número populacional em um instante de "T" qualquer, vai continuar sendo igual a zero. Então, esse é o primeiro caso que podemos observar. Vamos agora começar a observar o que acontece aqui. A gente sabe que o número populacional vai aumentando até chegar ao número K. Então, vamos colocar esse K aqui no nosso gráfico. Aqui a gente tem o nosso K, e o nosso K indica o número de indivíduos máximo que pode ter aqui nessa população. Nós teremos aqui uma assíntota. E o que vai acontecer se a gente tem um número populacional aqui inicial sendo maior que zero e menor que K? Ou seja, nós vamos ter aqui N₀ e esse N₀ é menor que alguma coisa e maior que outra coisa. Vai ser maior que zero, nesse caso não é igual a zero, como a gente viu o caso anterior. Mas vai ser menor que K, e do jeito que eu coloquei aqui, esse N₀ é bem menor que o K. Vamos supor que esse N₀ seja 1/8 de K. Se esse N₀ é 1/8 de K, a gente vai ter aqui "N" sendo 1/8 de K, 1 menos 1/8 vai ser 7/8 que é algo próximo de 1 tudo bem. Está valendo este termo aqui. No intervalo de tempo inicial, a gente vai ter um crescimento bem parecido com o crescimento exponencial. Porém, à medida que o tempo passa, esse "N" aqui vai tendendo a K, e o termo vai se aproximando de zero. A nossa taxa de crescimento vai tendendo a zero. Se a nossa taxa de crescimento vai tendendo a zero, o nosso número populacional aqui vai começar a ter uma curva desse jeito. Pense comigo. Se a taxa de variação tem um valor próximo a zero, significa que a reta tangente passando por essa curva vai tender a ficar na horizontal, porque vai ter uma inclinação igual a zero. Sendo assim, essa curva vai tender cada vez mais a esse valor K. Essa aqui seria curva que representa o crescimento populacional de acordo com essa equação diferencial. À medida que o tempo passa, em um tempo muito, muito grande, ou seja, quando "N" tender a K, a gente vai ter um "N", uma função de "N" no decorrer do tempo sendo igual a K. Claro que, como já disse, de acordo com as teorias de Malthus, isso aqui pode até ficar variando um pouco. Subir um pouco e depois descer, mas vai oscilar em torno disso aqui. Claro, não existe nenhum modelo perfeito, mas, pelo menos, esse modelo aqui vai se adequar muito bem ao comportamento que a gente vai observar. Sendo assim, a gente pode dizer que, de acordo com esse modelo, à medida que o tempo passa, o nosso número populacional vai continuar sendo igual a K. Agora, vamos supor que a gente tenha um tempo, agora vamos supor que a gente tenha um N₀ um pouco maior que esse outro que a gente estabeleceu antes. A gente vai ter uma curva parecida, mas ela vai logo ficar com esta cara aqui. A gente começa com o crescimento exponencial, mas logo depois começa a ter esse comportamento. Esse "N" novamente vai tender a K, e se esse N₀ for algo muito próximo a K, a gente já vai ter esse comportamento aqui, com esse número populacional rapidinho tendendo a K. Se a gente já começar observando uma população muito grande, essa população já vai estar no estágio de crescimento dela com algo já tendendo a esse valor máximo. Isso foi uma análise gráfica, uma interpretação dessa taxa de crescimento populacional de acordo com as teorias de Malthus, e desenvolvida por Verhulst. No próximo vídeo, vamos resolver essa equação diferencial e ver realmente se ela está de acordo com a nossa interpretação gráfica.