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Equações diferenciais
Curso: Equações diferenciais > Unidade 1
Lição 6: Modelos logísticosO modelo logístico de crescimento
A equação diferencial logística dN/dt=rN(1-N/K) descreve a situação em que uma população cresce proporcionalmente ao seu tamanho, mas para quando atinge o tamanho K.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - No vídeo passado, nós
começamos a observar aqui um crescimento populacional. E começamos a estabelecer
uma função temporal para o número de indivíduos
em uma população. Nós chegamos à conclusão que
a taxa de variação do número populacional em relação ao tempo seria proporcional
ao número populacional. Por isso que a gente colocou aqui
essa constante de proporcionalidade, multiplicando esse
número populacional. E chegamos a essa equação diferencial. Ao resolver essa equação diferencial, nós chegamos a essa expressão aqui,
ou seja, uma função temporal para o número de indivíduos em população. E essa função aqui indica para a gente que o número populacional, ou seja, o número de indivíduos
em uma população tem um crescimento exponencial. Esboçando o gráfico dessa função, nós chegamos a algo mais
ou menos parecido com isso. Aqui tendo o número
de indivíduos, aqui o tempo. Essa função disse para a gente que,
se nós temos aqui o número inicial de indivíduos
em uma população, à medida que o tempo aumenta, o número de indivíduos nessa população vai aumentando exponencialmente
sem ter um limite para esse crescimento. No entanto, quando nós observamos
aqui as ideias de Malthus, Malthus disse que fatores climáticos, como a escassez de comida ou de água,
ou outros fatores naturais, vão impedir que haja um crescimento
infinito dessa população. Com isso, nós vamos ter um certo
limite para esse número populacional. Ou seja, esse número populacional
vai chegar até esse valor máximo aqui, nós vamos chamar esse número
populacional máximo aqui de K. Ou seja, esse K indica o número
de indivíduos máximos que pode ter em uma certa população. Porém, apesar de Malthus
ter falado essa ideia, que vai ter um limite para esse
crescimento populacional, nós podemos ter aqui uma certa oscilação. Uma oscilação em torno desse
número populacional máximo, ou seja, é até possível que tenha
um número maior aqui populacional. Mas pode vir catástrofes ou outros fatores ambientais que vão jogar novamente esse
número populacional aqui para baixo. E esse número populacional
está oscilando aqui em torno deste número máximo. Então, apesar dessa função aqui
de crescimento exponencial ser uma função que expresse muito
bem o crescimento populacional para pequenas populações, quando a gente tem uma população
muito grande, ela não serve mais. A gente precisa aqui de uma outra
função para descrever isso. Foi pensando nessas ideias de Malthus
que P.F. Verhulst, não sei se estou acertando o nome dele, vamos considerar que estamos, conseguiu fazer uma alteração
nessa função temporal e estabeleceu uma nova função que descreve bem melhor
as ideias de Malthus. E é isso que a gente vai ver nesse vídeo. Verhulst partiu dessa mesma taxa
de variação populacional no decorrer do tempo. Ele falou que ainda temos que, uma taxa de variação de população
no decorrer do tempo vai ser igual a esse R,
que é esse fator, essa constante de proporcionalidade,
vezes "n". Só que aqui a gente teria outro termo que limitaria esse
crescimento populacional. E quais são os fatores que limitam
esse crescimento populacional? Como isso daqui é uma taxa de variação, no instante de tempo inicial, em que a gente ainda tem
uma população muito pequena, isso aqui é válido. No entanto, quando a gente tem
uma população muito grande, uma população que vai se aproximando do K, essa taxa de variação
tem que tender a zero, para que a gente não continue
tendo um crescimento populacional. Pensando nessas ideias, eu gostaria que você pausasse esse vídeo e tentasse estabelecer aqui
uma relação matemática que estivesse de acordo com essas ideias. Ou seja, quando a gente tem
um número populacional tendendo a zero, isso aqui seja válido. Mas quando o nosso número
populacional tende a esse K, isso aqui tem que tender a zero. Para que a gente tenha uma
expressão que faça sentido de acordo com essas necessidades,
a gente precisa ter 1 aqui. Esse 1 porque quando a gente multiplicar
isso pelo o que está aqui dentro, quando o "n" tende a zero,
isso aqui tem que ser válido. A gente tem que multiplicar
isso aqui por 1 e a gente vai subtrair com
a nossa outra necessidade. Ou seja, quando ele "n" tender para K, isso aqui tem que ser zero. Para a gente ter isso aqui sendo zero, quando "n" tende a K, ou seja,
quando "n" for muito próximo de K, a gente vai ter que ter 1 menos 1. E para que isso seja igual a 1,
quando "n" tende a K, a gente vai ter que colocar aqui
"n" sobre K. Por quê? Se você observar aqui, caso "n" seja
muito, muito, muito menor que o K, a gente vai ter um número
muito pequeno dividido por um número grande. Quando a gente tem
um número muito pequeno dividido por um número grande, isso é algo muito próximo a zero. Então, vai sobrar aqui um
número muito próximo de 1. Então, a gente vai ter
isso daqui sendo válido para pequenas populações. A gente vai ter algo próximo a K
dividido por K, e K dividido por K é igual 1. A gente vai ter algo
muito próximo a 1 aqui ou menos, um número muito próximo a 1
é algo que tende a zero. A nossa taxa de crescimento populacional
vai acabar tendendo a zero, podemos até escrever
essas informações aqui. Quando "n" é muito, muito menor que K, temos que esse termo aqui,
esse termo vai tender a 1. Agora quando "n" for muito próximo a K, quando "n" tender a K, o termo, esse termo 1 menos N/K vai tender a zero. Então, está aqui estabelecido
a nossa expressão e que está de acordo com as ideias
apresentadas aqui por Malthus. Aqui nós temos uma nova
equação diferencial de acordo com as ideias Malthusianas. É interessante que essa equação aqui, apesar de a gente estar usando
para crescimento populacional, ela é uma equação que se adequa
a várias outras coisas. Inclusive, essa equação é chamada
de equação diferencial logística. Aqui nós temos uma
equação diferencial logística e que você pode ver uma equação
com essa forma em diversos outros contextos. Mas aqui estamos trabalhando
com o contexto de crescimento populacional, tudo bem? Claro, essa é uma equação
diferencial separável que consegue resolver,
não tão fácil quanto essa outra aqui, mas é possível resolver com
uma certa facilidade também. Eu vou resolver com você
essa equação no próximo vídeo. Mas, antes de resolver essa equação, é legal a gente interpretá-la
fazendo uma análise gráfica. Então, vamos fazer isso,
vamos plotar um gráfico aqui em que aqui a gente tem
o nosso número populacional, e aqui no eixo "x", nós vamos ter o tempo. Então, à medida que tempo passa,
o número populacional se altera. Vamos colocar tudo isso aqui
nesse gráfico. E vamos fazer essa interpretação,
tudo bem? O primeiro caso que nós
vamos observar aqui é quando o nosso número populacional
inicial é igual a zero. O que vai acontecer à medida que
o tempo passa? Se nós não temos nenhum indivíduo
naquela população, nós não temos população. Se a gente tem aqui o número
populacional inicial igual a zero, o número populacional não vai
aumentar no decorrer do tempo. Assim, a gente vai continuar tendo
o número de indivíduos igual a zero. O que é impossível que alguém
tenha filhos e não tem ninguém ali, não tem como ter novos indivíduos. À medida que o tempo passa, o nosso número populacional
continua sendo igual a zero. Então, nós podemos dizer que o nosso número populacional
em um instante de "T" qualquer, vai continuar sendo igual a zero. Então, esse é o primeiro caso
que podemos observar. Vamos agora começar a observar
o que acontece aqui. A gente sabe que o número populacional
vai aumentando até chegar ao número K. Então, vamos colocar esse K
aqui no nosso gráfico. Aqui a gente tem o nosso K, e o nosso K indica o número
de indivíduos máximo que pode ter aqui nessa população. Nós teremos aqui uma assíntota. E o que vai acontecer se a gente tem um número
populacional aqui inicial sendo maior que zero e menor que K? Ou seja, nós vamos ter aqui N₀ e esse N₀ é menor que alguma coisa
e maior que outra coisa. Vai ser maior que zero, nesse caso não é igual a zero,
como a gente viu o caso anterior. Mas vai ser menor que K, e do jeito que eu coloquei aqui,
esse N₀ é bem menor que o K. Vamos supor que esse N₀ seja 1/8 de K. Se esse N₀ é 1/8 de K, a gente vai ter aqui "N" sendo 1/8 de K, 1 menos 1/8 vai ser 7/8 que é algo próximo de 1 tudo bem. Está valendo este termo aqui. No intervalo de tempo inicial, a gente vai ter um crescimento
bem parecido com o crescimento exponencial. Porém, à medida que o tempo passa, esse "N" aqui vai tendendo a K, e o termo vai se aproximando de zero. A nossa taxa de crescimento
vai tendendo a zero. Se a nossa taxa de crescimento
vai tendendo a zero, o nosso número populacional aqui
vai começar a ter uma curva desse jeito. Pense comigo. Se a taxa de variação tem
um valor próximo a zero, significa que a reta tangente
passando por essa curva vai tender a ficar na horizontal, porque vai ter uma
inclinação igual a zero. Sendo assim, essa curva vai tender
cada vez mais a esse valor K. Essa aqui seria curva que representa o crescimento populacional
de acordo com essa equação diferencial. À medida que o tempo passa,
em um tempo muito, muito grande, ou seja, quando "N" tender a K, a gente vai ter um "N", uma função de "N" no decorrer do tempo sendo igual a K. Claro que, como já disse,
de acordo com as teorias de Malthus, isso aqui pode até
ficar variando um pouco. Subir um pouco e depois descer,
mas vai oscilar em torno disso aqui. Claro, não existe nenhum modelo perfeito, mas, pelo menos, esse modelo aqui
vai se adequar muito bem ao comportamento que a gente vai observar. Sendo assim, a gente pode dizer que, de acordo com esse modelo,
à medida que o tempo passa, o nosso número populacional
vai continuar sendo igual a K. Agora, vamos supor que
a gente tenha um tempo, agora vamos supor que a gente tenha
um N₀ um pouco maior que esse outro que a gente estabeleceu antes. A gente vai ter uma curva parecida, mas ela vai logo ficar com esta cara aqui. A gente começa com
o crescimento exponencial, mas logo depois começa a ter
esse comportamento. Esse "N" novamente vai tender a K, e se esse N₀ for algo muito próximo a K, a gente já vai ter esse
comportamento aqui, com esse número populacional
rapidinho tendendo a K. Se a gente já começar observando
uma população muito grande, essa população já vai estar
no estágio de crescimento dela com algo já tendendo a esse valor máximo. Isso foi uma análise gráfica, uma interpretação dessa taxa
de crescimento populacional de acordo com as teorias de Malthus, e desenvolvida por Verhulst. No próximo vídeo, vamos resolver
essa equação diferencial e ver realmente se ela está de acordo com a nossa interpretação gráfica.